§6.3.7不等式的证明(七)---习题课VIP免费

黄冈中学网校达州分校§6.3.7不等式的证明(七)---习题课黄冈中学网校达州分校一、复习引入：1.重要不等式：22,R,2("")abababab如果那么当且仅当时取号2.定理：+,R,("").2abababab如果那么当且仅当时取号3.公式的等价变形：222,R,,()22ababababab如果那么4.0,2("")baababab如果那么当且仅当时取号黄冈中学网校达州分校主要方法：１.比较法1)作差法步骤：2)作商法步骤：２.综合法：３.分析法：其它方法：４.三角换元：５.代数换元：６.放缩法:７.反证法:８.构造法:构造函数法:利用函数的单调性和求值域的方法解决问题;构造方程法:利用方程有解的条件解决问题.构造图形法:利用图形的直观性解决问题.证明不等式的常用方法：黄冈中学网校达州分校例1设m>n,m,nN+,a=(lgx)m+(lgx)m,b=(lgx)n+(lgx)n,且x>1求证：ab证明：ab=(lgx)m+(lgx)m[(lgx)n+(lgx)n]=[(lgx)m(lgx)n]mnxx)(lg1)(lg1=[(lgx)m(lgx)n]nmnmxxxx)(lg)(lg)(lg)(lgnmnmxxx)(lg11)(lg)(lg∵x>1，∴lgx>0当0n，故(lgx)m<(lgx)n.此时，有a>b同理：当lgx>1有a>b，当lgx=1有a=b综上所述，总有ab.黄冈中学网校达州分校说明：作差比较法是证明不等式的一个最基本、最常用的方法，用作差比较法时要注意以下步骤：(1)作差：考虑不等式左右两边构成的差式，将其看做一个整体．(2)变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干因式的积，或变形为一个或几个平方的和等．(3)判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边的差的正负号．(4)结论：肯定所求证的不等式成立黄冈中学网校达州分校例2.如果a>b,ab=1，求证：)(2222baba证明：因为a>b，所以ab>0，又知ab=1.babababa2)(222222)(baba因为a>b,ab>0，所以)(2222baba当2ba时，取等号说明：在运用算术平均数与几何平均数定理证不等式时，一定要注意定理的条件黄冈中学网校达州分校例3.已知a,b,cR，求证：)(2222222cbaaccbba证明：因为a2+b22ab，所以2a2+2b2a2+2ab+b2=(a+b)22)(222baba即)(22||2222bababa同理得，)(2222caca)(2222cbcb三式相加，得)(2222222cbaaccbba当且仅当a=b=c时，取等号黄冈中学网校达州分校例4.已知a,b,c为不等正数，且abc=1，cbacba111求证：证法1：因为a,b,c为不等正数，且abc=1，abcabccba111cbabacacb111211211211证法2：因为a,b,c为不等正数，且abc=1，222111bcababcacabcabcabccbacbaacbbcaabc222黄冈中学网校达州分校说明：利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示条件与结论之间的因果关系．为此要着力分析已知和求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系．本题是条件不等式的证明问题，abc=1是特定的条件，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换就是证明不等式的关键黄冈中学网校达州分校例5.已知a,b是正实数，且a+b=1，求证：3a+3b<4证明：由a+b=1可知3a+3b<43a+31a<4033343aaa(3a1)(3a3)<01<3a<30a2+ab+b2=a+b(a+b)2>a+ba+b>13(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2)(ab)2>0因为a，b是不等正数，故(ab)2>0成立.34ba综上，得341ba黄冈中学网校达州分校说明：本题证明a+b>1采用综合法，证明34ba采用分析法，事实上，在推理论证中，由因导果和执果索因两种方式常常是相互配合交替进行的黄冈中学网校达州分校书面作业<<教材>>复习题A–4.8.9B-5.6