圆锥曲线的共同性质(瞿春波).VIP免费

圆锥曲线的共同性质江苏省西亭高级中学瞿春波一知识梳理1.圆锥曲线的统一定义：.当e满足条件，它表示椭圆；当e满足条件，它表示双曲线；当e满足条件，它表示抛物线.其中是e是圆锥曲线的，定点F是的圆锥曲线的，定直线l是的圆锥曲线的.2.由圆锥曲线统一定义,试着写出椭圆和双曲线的焦半径r，其中00(,)Pxy为其上任意一点，e是离心率.（1）已知椭圆22221(0)xyabab，则r左=r右=.（2）已知双曲线22221xyab，则r左=r右=.3二基础导练1.椭圆2212516xy上一点P到左焦点距离是7，则点P到此椭圆右准线的距离是.2.双曲线2213yx上一点P的横坐标是4，则点P到此双曲线右焦点的距离是.3.抛物线22yx的准线方程为.5718y问题展示已知动点(,)Mxy与定点1,0F的距离和它到直线4x的距离的比为12，求动点M的轨迹方程.解：由题意，221(0)142xyx，化简得，22143xy.故动点M的轨迹方程是22143xy.问题1若椭圆22:143xyC内有一点(1,1)A，12,FF是它的左右焦点，P为椭圆上一点.当22PAPF最小时，求点P的坐标.xyOPF2F1A···'P解:由题意，12,3,1,2abce.设右准线为l，过P作/PPl，则2/12PFePP，即/22PPPF，所以/22PAPFPAPP.当/,,APP三点共线时，22PAPF取得最小值，此时1Py，解得263Px.由0Px，得2(6,1)3P.变式1若P到此椭圆右准线的距离为1d，P到直线:290mxy的距离为2d，求122dd的最小值.xyOPF2F1··d1d2lm解：由题意，12,3,1,2abce.因为112PFed，即12dPF，所以122dd=2PFd.当PFm时，122dd取得最小值，此时12min2dd为F到直线m的距离，即10255.变式2若B在圆22:(4)(1)1Hxy上，求22PBPF的最小值.xyOPF2F1···BH//P解：由题意，12,3,1,2abce.过P作//PPl，则2//12PFePP，即//22PPPF，所以//22PBPFPBPP.当//,,BPP三点共线且过圆心H时，22PBPF取得最小值，故2min24(4)17PBPF.问题2已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点是F，过F且倾斜角为60的直线交椭圆C于,AB两点，若53AFFB�，求椭圆的离心率.xyOABF'B'AH解：设右准线为l，分别过,AB作/AAl，/BBl于//,AB，作/BHAA.设5AFt，3FBt，由统一定义，//53,ttAABBee.在直角AHB中，2,8,60tAHABtBAHe，则2cos608tet，得12e.变式将问题2中的“过F且倾斜角为60的直线交椭圆C于,AB两点”改为“若A是短轴的下端点，线段AF的延长线交椭圆C于点B”，其它条件不变，求椭圆的离心率.xyOABF''B法二法一问题3椭圆22:143xyC，12,FF是它的左、右焦点，P到左准线的距离为PQ.试问C上是否存在一点P，使得PQ是1PF和2PF的等比中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.xyOPF2F1··Q解：由题意，12,3,1,2abce.因为PQ是1PF和2PF的等比中项，所以212PQPFPF，即12PFPQePQPF，得2PQePF①.由统一定义，1PFePQ，即1PFPQe②.由①②得，12PFePFe.设00(,)Pxy，则10PFaex，20PFaex，故00aexeaexe.把12,2ae代入，得0122,25x.故点P不存在.四反思归纳五当堂检测1.设P是抛物线24yx上的一个动点，若(3,2)B，F为焦点，则PBPF最小值为.2.若双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是.3.已知双曲线2222:1(0)xyCabab的右焦点是F，过F且斜率为3的直线交双曲线于,AB两点，若4AFFB�，求双曲线的离心率.4.椭圆22:143xyC，12,FF是它的左、右焦点，椭圆上一点P到左准线的距离为PQ.试问：C上是否存在一点P，使1PF是PQ和2PF的等差中项？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.谢谢！法一设右准线为l，分别过,AB作/AAl，/BBl于//,AB，作/BHAA，设5AFt，3FBt.由统一定义，//53,ttAABBee.设BAH，在直角AHB中，2,8,tAHABte则2cos8tet①.而在直角AOF中，cosca②.由①②，得28tceat，即12e.法一法二作//轴BBy，因为////BBOF，所以//58OFAFBBAB，即//8855BBOFc，得85Bxc.由焦半径公式，285BcBFaexaa①，又3355BFAFa②，由①②，得28355caaa，即12e.法一