07第7章--常微分方程VIP免费

第7章常微分方程7.1.1微分方程的基本概念7.1.2分离变量法7.1.3内容小结7.1常微分方程的基本概念与分离变量法7.1.1微分方程的基本概念定义:一般地，含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程,如:d2dyxx.所含的未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程.微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶数.未知函数及其各阶导数的次数均为一次的微分方程称为线性微分方程.在线性微分方程中，如果未知函数及其各阶导数的系数都是常数，则称之为常系数线性微分方程.如''10'23sin2yyyx是二阶常系数线性微分方程.满足微分方程的函数（即将函数代入微分方程能使方程成为恒等式），这个函数称为微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，并且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解；不含任意常数的解称为微分方程的特解.根据具体条件可以确定通解中的任意常数取某定值，便可得到微分方程的一个特解.为了得到满足要求的特解，根据要求对微分方程附加一定的条件，这些具体条件称为初始条件.前面例子中的初始条件是12xy.解因为312eexxyCC,312'e3exxyCC,312''e9exxyCC,将,',''yyy代入方程左端得33311212e9e4(e3e)3(e3e)xxxxxxCCCCC3111222(43)e(9123)e0xxCCCCCC.所以函数312eexxyCC是微分方程''4'30yyy的通解，例1验证函数312eexxyCC是微分方程''4'30yyy的通解，并求方程满足初始条件(0)0,'(0)2yy的特解.又因为这个解中有两个独立的任意常数，与微分方程的阶数相同，所以它是已知方程的通解.由初始条件(0)0y得120CC，又由初始条件'(0)2y得1232CC，解得121,1CC，从而满足所给初始条件的特解为3eexxy.7.1.2分离变量法如果一个方程可化为()d()dgyyfxx(7.1)的形式，则这个方程称为可分离变量的微分方程.这种方程的解法称为分离变量法，此法的一般步骤为：先分离变量得到（7.1），然后在（7.1）式的两端积分求得方程的通解.解将方程化为dlndyxxx，分离变量得lnddxyxx，两端积分lnddxyxx，得所求方程的通解为21(ln)2yxC.例2求微分方程'lnxyx的通解.解将方程化为d2dyxyx，分离变量得1d2dyxxy，两端积分得:21lnyxC,即2211eeexCCxy.取1eCC,于是所求通解为2exyC（C为任意常数）.例3求微分方程'2yxy的通解.解原方程改写为d1010dxyyx,分离变量得10d10dyxyx，两端积分得1111010ln10ln10yxC，取1ln10CC,有111010ln10ln10ln10yxC，于是原方程的通解为1010xyC，将初始条件10xy代入通解，可得11C.从而所求特解为101011xy.例4求方程d10dxyyx满足初始条件10xy的特解.7.1.3内容小结1.微分方程的基本概念2.分离变量法7.2一阶线性微分方程7.2.1一阶线性微分方程7.2.2一阶线性微分方程应用7.2.3内容小结7.2.1一阶线性微分方程未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程，称为一阶线性微分方程.其一般式为'()()ypxyqx(7.2)当()0qx,'()0ypxy(7.3)称为一阶线性齐次微分方程.当()0qx，(7.2)称为一阶线性非齐次微分方程.1.一阶线性齐次微分方程的通解方程(7.3)是可分离变量的微分方程，可利用分离变量法求解.分离变量后，可化为1d()dypxxy,两端积分得ln()dlnypxxC,于是方程(7.3)的通解为()depxxyC.(7.4)2.一阶线性非齐次微分方程的通解方程（7.2）的通解可以利用“常数变易法”得到：先求得方程（7.2）所对应的一阶线性齐次微分方程（7.3）的通解（7.4），然后将（7.4）式中的任意常数换为待定函数()Cx，并确定出()Cx.即设方程（7.2）的通解为()d()epxxyCx(7.5)将(7.5)代入(7.2)后可得()d'()()epxxCxqx，两端积分得()d()()edpxxCxqxxC，将上式代入（7.5）得()d()de[()ed]pxxpxxyqxxC.(7.6)可以验证：（7.6）就是一阶线性非齐次微分方程（7.2）的通解,并称为“常数变易公式”.我们可以直接利用该公式求一阶线性非齐次微分方程的通解.值得注意的是使用公式（7.6）时，必须首先将方程化为形如...