1-2-2函数的极限VIP免费

1.2.2函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限问题:函数)(xfy在x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.的过程表示xXx.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式Xx的一切x,所对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当x时的极限,记作)()()(limxAxfAxfx当或定义""X.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim1、定义：:.10情形x.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当:.20情形xAxfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim2、另两种情形:Axfx)(lim:定理.)(lim)(limAxfAxfxx且xxysin3、几何解释:XX.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当AyxfyXxXxAxxysin例1.0sinlimxxx证明证xxxxsin0sinx1X1,,0,1X取时恒有则当Xx,0sinxx.0sinlimxxx故.)(,)(lim:的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义xfycycxfx二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:函数)(xfy在0xx的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.000的过程表示xxxxx0x0x0x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx定义2如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式00xx的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当0xx时的极限,记作)()()(lim00xxAxfAxfxx当或定义"".)(,0,0,00Axfxx恒有时使当1、定义：2、几何解释:)(xfyAAA0x0x0xxyo.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当Ayxfyxx注意：;)(.10是否有定义无关在点函数极限与xxf..2有关与任意给定的正数.,,越小越好后找到一个显然例2).(,lim0为常数证明CCCxx证Axf)(CC,成立,0任给0.lim0CCxx,0任取,00时当xx例3.lim00xxxx证明证,)(0xxAxf,0任给,取,00时当xx0)(xxAxf,成立.lim00xxxx例4.211lim21xxx证明证211)(2xxAxf,0任给,只要取,00时当xx函数在点x=1处没有定义.1x,)(Axf要使,2112xx就有.211lim21xxx122141lim221xxx、sin2lim0xxx、例5.lim00xxxx证0)(xxAxf,0任给0,x取,00时当xx00xxxx,)(Axf要使,0xx就有,00xxx00.xxx只要.lim,0:000xxxxx时当证明3.单侧极限:例如,.1)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx证明设两种情况分别讨论和分00xx,0xx从左侧无限趋近;00xx记作,0xx从右侧无限趋近;00xx记作yox1xy112xy左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当}0{}0{}0{:000xxxxxxxxx注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx定理.lim0不存在验证xxxyx11oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例6证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0x三、函数极限的性质2.局部有界性定理若在某个过程下,)(xf有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界.1.唯一性定理若)(limxf存在,则极限唯一.推论).()(),,(,0,)(lim,)(lim0000xgxfxUxBABxgAxfxxxx有则且设3.不等式...