新人教版九年级数学上册贵州省遵义市桐梓县新站中学2016年9月10日何济琴制作*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教学目标•1.掌握一元二次方程的根与系数的关系式并能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。•2.通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.•3.通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。学情分析1.学生已经学习用求根公式法解一元二次方程。2.本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识是直观，形象的他们所注意的多是事物外部的，直接的具体形象的特征。教学重点难点•重点：韦达定理的推导和初步运用难点：运用根与系数关系解综合题。问题1请写出一元二次方程的一般形式和求根公式.ax2+bx+c=0(a≠0)一、复习导入242bbacxa一元二次方程的根的情况怎样确定？acb42没有实数根有两个相等的实数根有两个不相等的实数根000方程两个根两根之和两根之积a与b之间关系a与c之间关系1x2x21xx21xxabac0432xx4-13-4340652xx23565601322xx21123212321猜想：如果一元二次方程的两个根X1、X2,那么，你可以发现什么结论？运用你发现的规律填空：8-3-7-5（1）已知方程x²-8x-3=0的根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=；（2）已知方程x²+7x-5=0的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=.二、探索新知思考1（1）如果方程x²+mx+n=0的两根为x1，x2，你能说说x1+x2和x1.x2的值吗？（2）如果方程ax²+bx+c=0的两根为x1，x2，你知道x1+x2和x1x2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由.归纳总结根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程ax²+bx+c（a≠0）有两实数根x1，x2，则.这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.1212,bcxxxxaa在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b²-4ac≥0呢？为什么？用根与系数关系解题的前提条件是Δ≥0，否则方程就没有实数根，自然不存在x1，x2.思考2三、掌握新知.例1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积（1）x²-6x-15=0解：x1+x2=-(-6)=6x1x2=-15（2）3x²+7x-9=0解：x1+x2=x1x2=37339（3）5x-1=4x²解：方程化为4x²-5x+1=0x1+x2=x1x2=454541.例1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积例2已知方程x²-x+c=0的一根为3，求方程的另一个根及c的值.解：设方程另一根为x1.则x1+3=1，∴x1=-2.又x1.3=-2×3=c，∴c=-6.例3已知方程x²-5x-7=0的两根分别为x1，x2，求下列式子的值：（1）x1²+x2²；（2）.1221xxxx解： 方程x²-5x-7=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=5，x1x2=-7.（1）x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=5²-2×(-7)=39；（2）2212122112397xxxxxxxx例4已知x1，x2是方程x²-6x+k=0两个实数根，且x1².x2²-x1-x2=115.（1）求k的取值；（2）求x1²+x2²-8的值.解:（1） 由题意有x1+x2=6，x1.x2=k.∴x1²x2²-x1-x2=(x1x2)²-(x1+x2)=k²-6=115，∴k=11或k=-11.又方程x²-6x+k=0有实数解，∴Δ=(-6)²-4k≥0,∴k≤9.∴k=11不合题意舍去，故k的值为-11;（2）由（1）知，x1+x2=6，x1.x2=-11，∴x1²+x2²-8=(x1+x2)-2x1x2-8=36+22-8=50.1.若x1，x2是方程x²+x-1=0的两个实数根，x1+x2=，x1+x2=.2.已知x=1是方程x²+mx-3=0的一个根，则另一个根为，m=.3.若方程x²+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a=，b=.-12-3四、巩固练习-11-64.已知a，b是方程x²-3x-1=0的两个根，求的值.baab解：由a+b=3，ab=-1，故.ababbaab22ababba221123211通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？哪些地方需特别注意的？谈谈你的看法.五、归纳小结布置作业教材课本第17页第7大题，8题9题※教学反思※1.从熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系，并发现可用系数表示的求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、发展和出现的过程，注重了知识的应用.2.教学...
