第24章圆第24章圆广东省怀集中学吴秀青一、学习目标1、理解圆的轴对称性;1、理解圆的轴对称性;2、掌握垂径定理及其推论,并能应用它们解决一些计算题和证明题.2、掌握垂径定理及其推论,并能应用它们解决一些计算题和证明题.广东省怀集中学吴秀青二、新课引入1、圆可以看成是______________________________的点的集合.2、弦是连接的线段.3、经过圆心的叫做直径.圆上任意两点弦所有到定点O(圆心为O)的距离等于定长r(半径为r)广东省怀集中学吴秀青三、研学教材认真阅读课本第81至83页的内容,完成下面练习并体验知识点的形成过程.知识点一圆的轴对称性思考剪一个圆形纸片,沿着他的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?你能得到什么结论?任何一条直径所在的直线轴结论圆是__对称图形,___________________________都是它的称轴广东省怀集中学吴秀青三、研学教材已知:CD是⊙O的任意一条直径,A为⊙O上点C、D以外的任意一点.求证:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.分析:要证圆是轴对称图形,只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.广东省怀集中学吴秀青三、研学教材证明:过点A作AA'CD⊥交⊙O于点A',垂足为M,连接OA、OA'.在△OAA¹中∵OA=OA'∴△OAA'是__________又∵AA'CD⊥∴AM=____()∴CD是AA'的__________.等腰三角形MA'三线合一垂直平分线广东省怀集中学吴秀青三、研学教材即对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点A'∴⊙O关于直线CD对称即圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.广东省怀集中学吴秀青三、研学教材如下图,⊙O中对称轴是_______.图中相等的线段有____________________相等的弧有_______________1))CABDEO直线CD线段OC、OD、AE、BE(ADBD、AC、BC(((广东省怀集中学吴秀青三、研学教材知识点二垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径____弦,并且____弦所对的两条弧.定理的几何语言:如图CD是⊙O的直径,AB是弦,且CDAE,⊥垂足为E∴_______,_______,_______.推论:平分弦(不是____)的直径_____弦,并且____弦所对的两条弧.平分平分AE=BEAD=BDAC=BC((((直径垂直于平分广东省怀集中学吴秀青三、研学教材如下图⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.解:过O作OEAB⊥于E,根据垂径定理得,AE=4cm,由勾股定理得OA=cm∴⊙O的半径是5cm。2222435OEAE广东省怀集中学吴秀青三、研学教材知识点三垂径定理在实际问题中的应用例2赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)广东省怀集中学吴秀青三、研学教材解:如图,用表示主桥拱.设所在圆的圆心为O,半径为R.过圆心O作ABOC⊥,D为垂足,OC与相交于点C,连接OA.根据________,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题意得,AB=37m,CD=7.23m∴AD=___AB=_____=_____垂径定理21372118.5cm广东省怀集中学吴秀青三、研学教材∴OD=OC-CD=R-7.23在RtOAD△中,由勾股定理,得:___________________即:()=18.5+(R-7.23).解得R≈_____(m),答:赵州桥的主桥半径约为___m.222ODADOA2R27.327.3广东省怀集中学吴秀青三、研学教材如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,ODAB,OEAC,⊥⊥垂足分别为D、E.求证:四边形ADOE是正方形.,,,证明:ABODACOEACAB是矩形四边形ADOEACAE21AB21AD,根据垂径定理得,ACAB又AEAD为正方形矩形ADOE广东省怀集中学吴秀青四、归纳小结1、圆是_____图形,____________所在的直线都是它的对称轴.2、垂径定理:_______________平分弦,并且平分弦__________.推论:平分弦(不是_____)的直径_______弦,并且_____弦所对的两条弧.轴对称任何一条直径垂直于弦的直径所对的两弧直径垂直于平分