垂直于弦的直径人教版九年级数学上VIP专享VIP免费

人教版九年级上册沁园中学九年级数学组问题:它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你想求出赵州桥主桥拱的半径吗？探究1沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？●O•圆是轴对称图形它有多少条对称轴？它的对称轴是什么?圆的对称轴是任意一条直径所在的直线●O它有无数条对称轴.如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.通过对折，你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么?·OABCDE线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒探究2垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦｝｛（1）平分弦（2）平分弦所对的优弧（3）平分弦所对的劣弧垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CD⊥AB∵CD是直径，∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE几何语言：EDCOAB下列图形是否满足垂径定理的条件？ECOABDOABc是不是是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD已知：直径CD、弦AB（除直径）且AM=BM求证：（1）CDAB⊥（2），ACBCADBDBACDOM推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（）A、∠COE=∠DOEB、CE=DEC、OE=AED、BD=BC⌒⌒·OABECDc2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm。·OABE解：连接OA，∵OE⊥AB∴cmOEOAAE86102222∴AB=2AE=16cm3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。·OABE解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA∴cmOEcmABAE3421∴cmOEAEAo5342222即⊙O的半径为5cm.4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。·OABECD解：连接OA，∵CD是直径，OE⊥AB∴AE=1/2AB=5设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得x2=52+(x-1)2解得：x=13∴OA=13∴CD=2OA=26即直径CD的长为26.例1：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OEAB⊥，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO例2：已知：⊙O中弦ABCD∥。求证：AC＝BD⌒⌒.MCDABON证明：做直径MN⊥AB∵AB∥CD∴MN⊥CD∴AM＝BMCM=DM∴AM-CM=BM-DM∴AC=BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37.4m，CD=7.2m∴AD=1/2AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2∵222ADODOA∴2222.77.18rr解得r=27.9（m）即主桥拱半径约为27.9m.⌒⌒1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性和垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线．圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题．已知⊙O的半径为5，弦AB=6，弦CD=8且ABCD,∥求AB与CD之间的距离.