三元一次方程组及其解法VIP专享VIP免费

例1纸币问题小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各多少张？此题是否可以利用解二元一次方程组的方法来解呢？分析：本题数量关系_____________________________________________________________1元张数+2元张数+5元张数=12张1元钱数+2元钱数+5元钱数=22元1元张数=4倍2元张数解：设1元的x张，2元的y张，3元的z张,可以列出以下三个方程：x+y+z=12x+2y+5z=22x=4y这些方程都有什么特点？（一）三元一次方程含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做三元一次方程三元一次方程。定义（二）三元一次方程组解:设1元的x张，2元的y张，3元的z张,根据题意，得：x＋y+z=12，①x+2y+5z=22②．x=4y③组合在一起这样就构成了方程组x+y+z=12①x+2y+5z=22②x=4y③含有三个相同的未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程组叫做三元一次方程组三元一次方程组如何定义?x＋y+z=26，x-y=1，2x+z-y=18.含有三个未知数未知数的项次数都是一次特点定义辨析判断下列方程组是不是三元一次方程组?方程个数不一定是三个,但至少要有两个。方程中含有未知数的个数是三个√×17372xyzxyz①1632xyxy②2332211xyzxyzxyyz③×方程中含有未知数的项的次数都是一次x+y=20y+z=19x+z=21√方程组中一共有三个未知数④辨析代入消元法2、解二元一次方程组的基本思路是什么？消元一元一次方程二元一次方程组消元1、解二元一次方程组的方法有哪些？3223xyxy加减消元法三元一次方程组一元一次方程二元一次方程组1.化“三元”为“二元”总结消元消元三元一次方程组求法步骤：2.化“二元”为“一元”怎样解三元一次方程组？（也就是消去一个未知数）例1解方程组x-z=4.③2x+2z=2①＋②，得④1xz1.化“三元”为“二元”考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）2.化“二元”为“一元”。x-y+z=0②x+y+z=2①x-z=4③1xz④解法一：消去yx+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.①③②解法二：消去x由③得，x=z+4④把④代入①、②得，2z+y=-2⑦2z-y=-4⑧（z+4)+y+z=2⑤(z+4)-y+z=0⑥化简得，x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.①③②解法三：消去z由③得，z=x-4④把④代入①、②得2x+y=6⑦4-y=0⑧x+y+(x-4)=2,⑤x-y+(x-4)=0,⑥化简得，注：如果三个方程中有一个方程是二元一次方程（如例1中的③），则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一次方程（如例1中的③）中缺少的那个元。缺某元，消某元。x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.①③②在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择最恰当、最简便的方法。解：①＋②，得2x+2z=2,化简，得x+z=1④③+④,得x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.①③②把代入③，得x=52542z32z2x=552xx-z=4③x+z=1④∴,52x32z把代入②，得53()022yy=1所以，原方程组的解是52132xyz354xyyzzx①③②1.化“三元”为“二元”解：③－②，得1xy④1xy④3xy①2.化“二元”为“一元”例2解方程组原方程组中有哪个方程还没有用到？例2解方程组354xyyzzx①③②解:③-②，得①+④，得22x∴1x1xy④所以,原方程组的解是123xyz把x=1代入方程①，得y=2把x=1代入方程③,得z=31xy④3xy①354xyyzzx①③②1.化“三元”为“二元”解：③－②，得1xy④例2解方程组原方程组中有哪个方程还没有用到？可不可以不用①？1xy④5yz②1xy④4zx③在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次．可不可以只用方程组中的两个就求解出方程的解？例2也可以这样解:①+②+③,得即，⑤－①,得3z⑤－②,得1x354xyyzzx①③②⑤－③，得所以，原方程组的解是123xyz2y6xyz⑤2()12xyz④小结（一）三元一次方程组的概念是什么?（二）解三元一次方程组的基本思路是什么?（三）在三元化二元时，对于具体方法的选取（三）在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意什么？应该注意什么？