离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2.理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1.定义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为1x2x⋯ix⋯P1p2p⋯ip⋯则称E11px22px⋯nnpx⋯为的均值或数学期望，简称期望．要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令1p2p⋯np，则有1p2p⋯npn1，E1(x2x⋯nxn1)，所以的数学期望又称为平均数、均值。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．2．性质：①()EEE；②若ba(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有baEbaE)(；baEbaE)(的推导过程如下：：的分布列为1x2x⋯ix⋯bax1bax2⋯iaxb⋯P1P2P⋯iP⋯于是E11)(pbax22)(pbax⋯()iiaxbp⋯＝11(pxa22px⋯iixp⋯)1(pb2p⋯ip⋯)＝baE∴baEbaE)(。要点二：离散型随机变量的方差与标准差1.一组数据的方差的概念：已知一组数据1x，2x，⋯，nx，它们的平均值为x，那么各数据与x的差的平方的平均数[12nS21)(xx＋22)(xx＋⋯＋])(2xxn叫做这组数据的方差。2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为1x2x⋯ix⋯P1p2p⋯ip⋯则称D＝121)(pEx＋222)(pEx＋⋯＋2()nixEp＋⋯称为随机变量的方差，式中的E是随机变量的期望．D的算术平方根D叫做随机变量的标准差，记作．要点诠释：⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3.期望和方差的关系：22()()DEE4.方差的性质：若ba(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，2()DDabaD；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量服从参数为p的二点分布，则期望Ep方差(1).Dpp证明： (0)Pq,(1)Pp,01p,1pq∴01Eqpp22(0)(1)(1).Dpqpppp2、二项分布：若离散型随机变量服从参数为,np的二项分布，即~(),BnP，则期望EnP方差(1-)Dnpp期望公式证明： knkknknkknqpCppCkP)1()(，∴001112220012......nnnkknknnnnnnnECpqCpqCpqkCpqnCpq，又 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!knknnCknknnknknkkC，∴E(np0011nnCpq＋2111nnqpC＋⋯＋)1()1(111knkknqpC＋⋯＋)0111qpCnnnnpqpnpn1)(．3、几何分布：独立重复试验中，若事件A在每一次试验中发生的概率都为p，事件A第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且1()(1)kPkpp，0,1,2,3,,,knLL，称离散型随机变量服从几何分布，记作：~()()PkkPg，。若离散型随机变量服从几何分布，且~()()PkkPg，，则期望1.Ep方差21-pDp要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。4、超几何分布：若离散型随机变量服从参数为,,NMn的超几何分布，则期望()nMEN要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：①理解的意义，写出可能取的全部值；②求取各个值的概率，写出分布列；1x2x⋯ix⋯P1p2p⋯ip⋯③根据分布列，由期望、方差的定义求出E、D、：1122nnExpxpxpLL2221122nnDxEpxEpxEpLLD.注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可．2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用①离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；②随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。③对于两个随机变量1和2，当需要了解他们的平均水平时，可比较1E和2E的大小。④1E和2E相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较1D和2D，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比...
