循环递推法循环递推法是积分计算的一种重要的辅助方法．对于某些积分问题，在通过换元积分法或分部积分法处理后，尽管没有得到原函数的初等表达式，但重新得到了原积分的表达式)1(kAkII．这样，实际上也就得到了需要的结果了，这种方法称为循环递推法．这里需要注意的是：若I表示的是不定积分，等式另一边的I虽然表示的是同一个函数的不定积分，但是应该有一个常数的差别．所以在移项合并时，必须留下一个常数．利用循环递推法计算不定积分时，因为不定积分的计算结果与积分变量的名称有关，所以比较适合用分部积分法，而这时换元积分法恐怕是没有用的．【例1】求xxdearccos．【解】xxxxxIxxxde1edearccos2arccosarccos2arccosarccos1deexxxxxxxxxxde1eearccos2arccosarccosIxxxx2arccosarccos1ee．所以CxxIxx21ee22arccosarccos，即CxxIx)1(e212arccos．【例2】求xxd)sin(ln．【解】xxxxxxId)cos(ln)sin(lnd)sin(lnIxxxxxxxxxx)cos(ln)sin(lnd)sin(ln)cos(ln)sin(ln，所以CxxxxI)]cos(ln)[sin(ln2．【例3】求xxd12．【解】xxxxxxxxxxxxId11)1(1d11d12222222xIxxarcsin12．所以，有CxxxI)arcsin1(212．【注】本题用换元txsin的方法，一样可以得到结果，但还要用到三角倍角公式和回代的过程，略显麻烦．【例4】求xxxde)1(222．【解】xxxxxxxxdedede)1(22222222xxxxxxxxdedee22222222Cxx22e．【注】本例中没有出现循环递推的形式，所以放在这里是为了提醒大家当出现I减I的时
