1/5第二类曲线积分的计算定义设),(yxP,),(yxQ为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线ABL上的函数,对ABL任一分割T,它把ABL分成n个小弧段iiMM1),,2,1(ni；其中A=nMBM,0.记各个小弧段iiMM1弧长为is,分割T的细度为}{max1iniST,又设T的分点的坐标为),(iiiyxM,并记11,iiiiiiyyyxxx,),,2,1(ni.在每个小弧段iiMM1上任取一点ii,,若极限niiiiTxP10),(limniiiiTyQ10),(lim存在且与分割T与点ii,的取法无关,则称此极限为函数),(yxP,),(yxQ在有向线段ABL上的第二类曲线积分,记为LdyyxQdxyxP),(),(或ABdyyxQdxyxP),(),(也可记作LLdyyxQdxyxP),(),(或ABABdyyxQdxyxP),(),(注：(1)若记yxF,=),(),,(yxQyxP,dydxsd,则上述记号可写成向量形式:LsdF.(2)倘若L为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(zyxP,),,(zyxQ,),,(zyxR为定义在L上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L的第二类曲线积分,并记为dzzyxRdyzyxQdxzyxPL),,(),,(),,(按照这一定义,有力场),(,),(),(yxQyxPyxF沿平面曲线L从点A到点B所作的功为ABQdyPdxW.第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.2/5对二类曲线积分有BAAB,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场),,(,),,(,),,(),,(zyxRzyxQzyxPzyxF沿空间曲线ABL所作的功.为空间曲线ABL上的第二类曲线积分ABdzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(.与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是第二类曲线积分就是（1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的?????，?????是一小段弧的弧长，?????总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x,y坐标的增量?????=????-????-1，?????=????-????-1，?????与?????是可正可负的。当积分的路径反向时，?????不变，而?????与?????反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。设曲线的参数方程为??=??(??)y=y(t)α≤t≤β则第一类曲线积分的计算公式为201(,)lim(,)niiilifxydss01(,)(,)lim(,)(,)niiiiiiliPxydxQxydyPxQy3/5这里要注意α≤β，即对t的定积分中，下限比上限小时才有????>0，也就有????=????，这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿曲线上的点由A变到B，即t的下限α对应曲线积分的起点A，他的上限β对应曲线积分的起点A，t的上限β对应终点B。历年真题1、设曲线L:????,??=1，??(??,??)具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的选项是(A)????,??????Γ(B)????,??????Γ(C)????,??????Γ(D)????′??,??????Γ+????′??,??????(2007，数一，4分)【解析】设点??，??的坐标分别为??(??1,??1)，??(??2,??2)，则有题设可知????,??????Γ=????Γ=??2-??1>0????,??????Γ=????Γ=??2-??1<0????,??????Γ=????Γ>0????′??,??????Γ+????′??,??????=0????Γ+0????=0答案为B。2222'''2'2()()()()dsdxdyxtdtytdtxtdttdtdt4/52、计算曲线积分??????2??????+2??2-1????????，其中??是曲线??=????????上从点(0,0)到点(??,0)的一段。(2008，数一，9分)【解析】??????2??????+2??2-1????????=??????2??????+2??2-1??????????????????????=??2??????2??????=-????22??????2??0??+????????2??????=-??22+??2??????2??0??-12????????2??????=-??22??03、设??是柱面??2+??2=1与平面??=??+??的交线，从??轴正方向往??轴负方向看去为逆时针方向，则曲线积分????????+??????+??22????=??(2011，数一，4分)【解析】采用斯托克斯公式直接计算????????+??????+??22????=????????????+??????????+??????????=??+??=1-??-????????????2+??2≤1=????1-??????????-????????????????=??102??04、已知??是第一象限中从点(0,0)沿圆周??2+??2=2??到点(2,0),再沿圆周??2+??2=4到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分??=3??2??????+??3+??-2????????(2012，数一，10分)5/5【解析】??=??+??????+??2-??2+??????+??2??2??????=????????--2??????=??2-402??5、已知??的方程??=2-??2-??2??=??，起点为??(0,2,0)，终点为??(0,-2,0)，计算曲线积分??=??+??????+??2-??2+??????+??2??2??????(2015，数一，10分)【解析】曲线L的参数方程为：??=????????y=2z=cosθsinθ??=??+??????+??2-??2+??????+??2??2??????=-2????????+????????????????+2????????2????????-??2??2-2??????2????????2??????????????=-2??????2??????=22??-??2??2
