等差、等比数列的子数列的探究一、定义子数列若数列nb是由数列na的一些项按原来的顺序构成的一个新数列，则称数列nb是数列na的子数列。二、讨论等差数列是否存在等差子数列1、学生举例：（1）设aaan(为常数），则任取一些项组成的数列都是等差子数列。（2）nan中有子数列nbnbnbnnn5,2,12等。（3）123nan中有子数列2129,13nbnbnn等小结：只要首项不同，公差不同就可以确定不同的等差子数列。2、从具体的例子中小结出如何寻找等差子数列，以及子数列的公差和原数列的公差之间的关系，从而得出结论：（1）等差数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等差数列。（2）新的等差数列的公差等于原等差数列的公差的k倍。3．证明结论：设na是等差数列，d是公差，若nmaa,是子数列的相邻两项，dmnaamn)(，当kmn为常数时，kddmnaamn)(也是常数。三、讨论等比数列是否存在等比子数列1、学生举例：（1）设aaan(为常数），则任取一些项组成的数列都是等比子数列。（2）nna2中有子数列122nnb和nnb52等。（3）1)31(2nna中有子数列nnb)91(2等。小结：只要首项不同，公比不同就可以确定不同的等比子数列。2．从具体的例子中小结出如何寻找等比子数列，以及子数列的公比和原数列的公比之间的关系，从而得出结论：（1）等比数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等比数列。（2）新的等比数列的公比等于k个原等比数列的公比的积。3．证明结论：设na是等比数列，q是公比，若nmaa,是子数列的相邻两项，mnmnqaa，当kmn为常数时，kmnmnqqaa也是常数。四、讨论等差数列是否存在等比子数列1。学生举例：na=n中有子数列nb=12n和nb=13n等。（自然数列是学生最容易想到的，除了自然数列之外，其他的数列不容易想到）2给出一个例子一起研究。例1．已知：等差数列na，且13nan。问：等差数列na中是否存在等比子数列nc？（1）写出na的一些项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，⋯，学生尝试后找出结果有：①2，8，32，128，512，⋯，;421n②2,14,98,686,4802,⋯，172n;③2,20,200,2000,⋯，;1021n④5,20,80,320,⋯，145n;⑤2,26,338,⋯，1132n(2)猜想：①142nnc；②172nnc；③1102nnc；④145nnc；⑤1132nnc（3）提问：这些猜想是否正确呢？我们可以从两个方面进行思考：通过演绎推理证明猜想为真，或者找出反例说明此猜想为假，从而否定或修正此猜想。（4）学生分组证明猜想分析：142n的项被3除余2，从而得出利用二项式定理证明的方法。证1：（用二项式定理） )(26)13(2)13(24211Nkkknn，即142n除以3余2，∴nc是na的子数列。分析：由前面几项符合推广到无穷项都符合，从而得出利用数学归纳法证明的方法。证2：（数学归纳法）①当n=1时，111132ac②假设当n=k时，)(13212Nmamcmkk，那么当n=k+1时，1kc1412121)1(21)14(3)13(42422mkkkamm.由①、②得nc是na的子数列。（5）同理证明;,23)16(27211Nkkcnnn23)13(545,,23)19(21021111kcNkkcnnnnnn，.,23)112(2132;11NkkcNknnn（6）引申：让学生找规律——以na中任一项为首项，以)(13Nkk为公比的等比数列均是该等差数列的等比子数列（7）小结：归纳法是从特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要进一步证明的。从归纳猜想到论证的思维方法是我们研究数学问题常用的方法。（8）思考：对给定的等差数列可以构造出等比数列，不确定的等差数列中是否存在等比数列？例2已知：数列na是首项,21a公差是d的等差数列。数列nb是等比数列，且2211,abab。问：是否存在自然数d，使得数列nb是数列na的子数列？如存在，试求出d的一切可能值分析：先取d=1，2，3，4，5，6。发现当d是奇数时，不可能。 2a是奇数，∴公比22a为分数，则12)2(2nnab从第三项开始就不是自然数取d=2，na：2，4，6，8，⋯，nb：2，4，8，16，⋯，nnnnbna2,2,2是偶数，∴d=2时，数列nb是数列na的子数列取d=4，na：2，6，10，14，18，⋯，nb：2，6，18，54，⋯，nnbna,24)(224)14(2)14(23211Nkkknn，∴d=4时，数列nb是数列na的子数列。同理d=6时，数列nb也是数列na的子数列。由此猜想当)(2Nmmd时，数列nb是数列na的子数列。可以用二项式定理或数学归纳法证明。证1：（用二项式定理）在na中，.2)1...
