08第8章--行列式与矩阵VIP免费

第八章行列式与矩阵8.1.1二元线性方程组与二阶行列式8.1.2三阶行列式8.1.3小结8.1二阶、三阶行列式及其性质8.1.1二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元一次方程组：11112212112222(1)(2)axaxbaxaxb（8.1）消去（2）中的1x，再消去方程（1）中的2x，得112212212211211112212211122122,()()aaaaxbaabaaaaxbaab若112221210aaaa，则方程组的解为122122111221221211211211221221baabxaaaabaabxaaaa.定义：四个数11a,12a,21a,22a排列成两行两列，两边各加上一条竖直线段，它表示一个数，称之为二阶行列式.(,1,2)ijaij为这个行列式的元素，ija的下标,ij表示该元素所处位置在行列式的第i行第j列.二阶行列式的计算法则—对角线法则：1112112212212122aaaaaaaa，即主对角线上两元素的乘积减去次对角线上两元素的乘积.对于线性方程组（8.1），记11121122122121220aaDaaaaaa，1121122122222baDbaabba1112112121212abDabbaab,1D、2D是由方程组（8.1）的右端常数列分别取代D的第1列、第2列而得的两个二阶行列式.则方程组（8.1）的解：1122DxDDxD.解23273(3)2337D1123127(5)(3)6957D22122(5)1234635D所以169323DxD，246223DyD.例1解二元线性方程组2312375xyxy.8.1.2三阶行列式定义：111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132112332122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaa三阶行列式的计算—对角线法则：即实线上的三个元素乘积之和减去虚线上的三个元素乘积之和.利用三阶行列式解三元线性方程组111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb记1112132122233132330aaaDaaaaaa，1121312222333233baaDbaabaa，1111322122331333abaDabaaba，1112132122231323aabDaabaab，则312123,,.DDDxxxDDD解由于123112111162(413)52315,10,35,DDDD所以31211,2,7DDDxyzDDD.例2解三元线性方程组21310231xyzxyzxyz.8.1.3小结二阶、三阶行列式的对角线计算法则1112112212212122aaaaaaaa,111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132112332122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaa.８.２n阶行列式8.2.1n阶行列式的定义8.2.2行列式的性质8.2.3克莱姆（Cramer）法则8.2.4小结8.2.1n阶行列式的定义定义由2n个数,1,2,,ijaijn排成n行n列，两边各加上一条竖直线段，组成算式111212122212nnnnnnaaaaaaaaa（8.5）称为n阶行列式，简称行列式，常用字母D表示，数ija称为行列式的第i行第j列元素.划去元素ija所在的第i行和第j列后，剩下2(1)n个元素按原来顺序组成的1n阶行列式称为ija的余子式，记为ijM；在ijM的前面冠以符号因子(1)ij后，称为元素ija的代数余子式，记为(1)ijijijAM.当1n时，规定:1111Daa即一阶行列式是数11a本身.注意一阶行列式1111aa不要与绝对值记号混淆.设1n阶行列式已经定义，则n阶行列式11111212111nnnijijjDaAaAaAaA(8.6)即，n阶行列式D等于它的第一行元素与它们各自的代数余子式乘积的代数和.例如，当2n时，111211111212112212212122aaDaAaAaaaaaa.例1写出四阶行列式1032410523163341的元素34a的余子式和代数余子式.解元素34a的余子式为划去第3行和第4列后，剩下元素按原来顺序组成的三阶行列式，而元素34a的代数余子式为余子式前面冠以34(1)，即34103410334M34343434103(1)410334AMM.定理8.1n阶行列式(8.5)等于它的任意一行元素与它们各自的代数余子式乘积之和11221niiiiininijijJaAaAaAaA（8.7）其中i1,2,,n，(8.7)称为n阶行列式按行展开式.例2证明四阶上三角行列式1112131422232411223344333444000000aaaaaaaDaaaaaaa.证明由定理8.1按最后一行展开，逐步计算有44444433334433222244332211112...