江苏省东台中学2013届高三数学一轮复习-专题一-第五讲-导数及其应用教案VIP免费

专题一第五讲导数及其应用一、利用导数研究曲线的切线例1.已知函数()fx在R上满足2()2(2)88fxfxxx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程是.解析：由2()2(2)88fxfxxx得：2(2)2()(2)8(2)8fxfxxx即22()(2)44fxfxxx，∴2()fxx∴/()2fxx，∴切线方程12(1)yx，即210xy.例2.已知曲线，过原点的直线与曲线相切，求直线的方程.答案：或注意：“在点A处的切线”与“过点A的切线”的区别二、利用导数研究函数的单调性例3.（2010·山东）已知函数1()ln1()afxxaxaRx（1）当1a时，求曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程；（2）当12a时，讨论()fx的单调性.解：（1）当1()afx时，),,0(,12lnxxxx222xxfxx因此，21f,又,22ln)2(f所以曲线()2(2))(ln22)2,yfxfyx在点（，处的切线方程为ln20.xy即（2）因为11ln)(xaaxxxf,所以211)('xaaxxf221xaxax),0(x,令,1)(2axaxxg),,0(x①当0a时，()1,0,,gxxx所以当0,1x时，gx>0，此时0fx，函数fx单调递减；当1,x时，gx<0，此时0fx，函数fx单调递增.②当0a时，由0fx，即210axxa，解得1211,1xxa.当12a时，12xx，0gx恒成立，此时0fx，函数fx在（0，+∞）上单调递减;当102a时，1110a，0,1x时，0gx,此时0fx,函数fx单调递减11,1xa时，gx<0,此时0fx,函数fx单调递增11,xa时，0gx，此时0fx，函数fx单调递减当0a时，由于110a,0,1x时，0gx,此时0fx,函数fx单调递减；1,x时，gx<0,此时0fx,函数fx单调递增.综上所述当0a时，fx在0,1上单调递减;函数fx在1,上单调递增当12a时,fx在0,上单调递减当102a时，fx在0,1上单调递减；在11,1a上单调递增；在11,a上单调递减.三、利用导数研究函数的极值与最值例4．函数在处有极值，则点为．答案：（-4,11）四、利用导数研究函数的图象例5．设函数若关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围．解：依题意，得在区间[O，2]上恰有两个相异实根．令，则当时，当在上是减函数，在上是增函数．又只要如图，即，可以使方程在区间上恰有两个相异实根，故的取值范围是五、利用导数证明不等式例6．已知直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为．（1）求直线的方程及的值；（2）若（其中是的导函数），求函数的最大值；（3）当时，求证：．解：(1)依题意知，直线是函数在点处的切线，故其斜率所以直线的方程为又因为直线与的图像相切，所以由得不合题意，舍去）(2)因为，所以当时当时因此在上单调递增，在上单调递减．因此，当时取得最大值(3)当时.由(2)知：当O时即因此，有.例7．(1)已知，试求函数的最小值；（2）若，求证：.解：（1）对于函数，求导得，由得，当时，，函数是递减函数；当时，，函数是递增函数；所以当时，函数.（2）由第（1）题得：从而，，，三式相加得：变题：由（1）知：，从而，，，三式相加，结合得：.联想：在三角函数中，有公式，因此，若，且，则.类比：若，则