第七章第七节立体几何体中的向量方法(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(2011·杭州模拟)若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3，5)，n2＝(－3,1，－4)则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确解析：因为cos〈n1·n2〉＝≠0且cos〈n1，n2〉≠±1，所以α、β相交但不垂直．答案：C2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：因为cos〈m，n〉＝－，所以l与α所成角θ，满足sinθ＝|cos〈m，n〉|＝，又θ∈[0，]，所以θ＝30°.答案：A3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：如图所示，易证BD⊥平面AA1C1C，又CE⊂平面ACC1A1，∴BD⊥CE.答案：B4．(2011·厦门模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为()A.B.C.D.解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝.答案：B5．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°解析：以B点为坐标原点，以BC、BA、BB1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，专心爱心用心1则B(0,0,0)，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，∴＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)∴cos〈，〉＝＝＝.∴EF与BC1所成角为60°.答案：B6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则()A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0),C(0,1,0)，E(，0，)，F(，，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，＝(，，－)，＝(－1，－1,1)，＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．(2011·南通模拟)设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．解析：由题知a，b分别平面α，β的法向量，又a·b＝(－1)×2＋2×3＋(－4)×1＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.答案：垂直8．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．解析：由题知：⊥，⊥.所以：即：解得：x＝，y＝－，z＝4.答案：，－，49．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0，－，)，则＝(2a,0,0)＝(－a，－，)，＝(a，a,0)，设平面PAC的法向量为专心爱心用心2n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈，n〉＝＝＝，∴〈，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.答案：30°三、解答题10．如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D－xyz.则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．连结BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设＝(m，m,1)(m＞0)，由已知〈，〉＝60°，由·＝||||cos〈，〉，可得2m＝.解得m＝，所以＝(，，1)．(1)因为cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0,1,0)．因为cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°，可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长．解：(1)证明：如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1...
