一致收敛判别法总结分析研究 应用数学专业VIP专享VIP免费

一致收敛判别法总结摘要：函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点，为了开阔思路，更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法，本文对函数项级数一致收敛的几种判别法进行了分析、归纳、总结。首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究,介绍了函数项级数一致收敛的充要条件,近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般方法。同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。并通过例题的讨论说明这些判别法的可行性及特点。Abstract：FunctionSeriesUniformConvergenceprovemathematicalanalysisofthedifficulties,inordertobroadentheirthinking,tobetterunderstandandmasterthefunctionsSeiesConvergenceapproach,thispaperuniformlyconvergentseriesoffunctionsofseveraldiscriminantmethodwereanalyzed,summarized,summary.First,determinethedefinitionofseriesoffunctionswithuniformconvergencemethodswerestudied,introduceduniformlyconvergentseriesoffunctionsnecessaryandsufficientconditions,whileprovidingnearlyproveduniformlyconvergentseriesoffunctionsofthegeneralmethod.AlsointroducedseveralrelativelyeasytoapplyuniformconvergenceonthediscriminantfunctionsequenceLawAct.Andthroughdiscussionofexamplesillustratethefeasibilityofthesediscriminantmethodandcharacteristics.关键词：函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法Keywords:seriesoffunctions;functionsequence;uniformconvergence;Criterion引言：函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点，教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。初学者需用灵活的思维以便在使用时选出正确又快捷的证明方法和技巧。为了更好的培养我们这方面的能力，总结出了函数项级数一致收敛性的若干证明方法。一、定义设是函数项级数的部分和函数列.若在数集上一致收敛于函数，则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称函数项级数在上一致收敛.定理：若对，>0使得,并且当时有.则当时一致收敛于.例1：若在上可积，，且与在上都可积.设，则在上一致收敛于.证明：==所以时，一致收敛于.二、函数项级数一致收敛的柯西收敛原理函数项级数在上一致收敛的充分必要条件是对于任意给定的ε>0，存在正整数，使<ε.对一切正整数m>n>N与一切x∈成立.证明：（必要性）设在上一致收敛.记和函数为，则对任意给定的ε>0，存在正整数.使得对一切n>N与一切成立<于是对一切m>n>N与一切x∈，成立==<（充分性）设对任意给定的>0，存在正整数，使得对一切m>n>N与一切成立=<固定,则函数项级数满足可惜收敛原理，因而收敛。设在<中，固定n.令m>，则得到<对一切成立.因而在上一致收敛于可以相应的得出函数序列一致收敛的柯西收敛原理：函数序列在上一致收敛对任给的正数，总存在正数N，使得当m＞n＞N时，对一切,都有＜例2：若在区间上，对任何正整数n,.证明：当在上一致收敛时，级数在上也一致收敛.证明：因为在上一致收敛.故对任给的>0，总存在N＞0,使得当n＞N时，对任意及任意，有＜从而由得+＜＜所以，由柯西准则知，级数在上一致收敛.三、设函数序列在集合上点态收敛于，定义与的距离为=则在上一致收敛于的充分必要条件是:=0.证明：设在上一致收敛于，则对任意给定的＞0，存在,当n＞时，<对一切成立.于是对n＞，<，这就说明=0.反过来，若=0则对任意给定的＞0，存在，当n＞时，<，此式表明<.对一切成立.所以在上一致收敛于.例3：设=，则在上收敛于极限函数.证明：由于=等号成立当且仅当.可知=因此在上一致收敛于.例4:证级数在上不一致收敛但在上内闭一致收敛.证明：==，知道级数在不一致收敛.对任意（0<<1），==可得级数在上内闭一致收敛.四、魏尔斯特拉斯判别法：设为一个函数项级数，若存在一个收敛的正项级数，且，当n＞，时，有.则函数项级数一致收敛.证明: 正项级数收敛∴对任意的＞0存在，当n＞时，对任意的有＜又 故对任意的，有＜∴函数项级数一致收敛例5：函数项级数（a＞1）在［0，+）上一致收敛.证明：记=，则=.于是容易知道在外达到最大值，即，［0，+）.由于a...