中学不等式的证明及其应用单位：茶陵县浣溪中学姓名：龙贵冬地址：湖南省茶陵县浣溪镇浣溪中学邮编：412400【摘要】不等式在数学教学中一直都是一个难点，也是一个重点。本文就初等数学中的不等式，一是介绍了4种证明方法，分别是比较法、综合法、分析法、反证法；并分别举出实例加深读者的理解；二是举例说明了不等式的证明在实际问题中的应用。【关键词】不等式；证明；应用当今社会，数学作为一门基础学科，发挥着越来越重要的作用，而在初等数学知识体系内部不等式占据着非常重要的地位，在中高考和各种竞赛中都经常出现，不等式的证明方法种类繁多，不胜枚举；而且不等式在现实生活中有着巨大的应用价值，对学生能力的培养起到了不可估量的作用，蕴含着极其丰富的数学思想。若能有效的运用其数学思想去分析问题、解决问题，在解题中大为有益。尽管课本上大量的问题属于纯数学模型，但许多纯数学模型都有一定的运用背景，特别是高考也要求学生构造不等式解决实际问题，所以，我们要寻找一些背景应用题来训练学生，让学生真正体会到数学源于现实、寓于现实、用于现实，培养学生应用数学工具分析和解决实际问题的能力，训练学生的创新思维。总之，不等式作为初等数学的重点、难点内容之一，确实是培养学生探究思维能力的好材料，作为一种观念，只要我们在教学中长期坚持、积极探讨，一定能大大提高学生的学习效率和探究思维能力，从而对所学知识窥之远、察之深，并有新的认识和发现。不等式是中学数学的一个重要内容,而关于不等式的证明则是一个难点。在教学中,要求学生掌握不等式的性质,能够证明一些不等式。笔者认为,学好这部分内容,掌握一定的证题方法和技巧,对进一步学习高等数学是大有裨益的。不等式的证明方法多种多样,往往因题而异,没有一定的途径,但是,如果能熟练地掌握不等-1-式的性质,认识基本不等式的特点,认真地审题,并且运用比较、分析,综合和反证、归纳等推理方法,进行思考探索,也不难找到证题的途径。这里只把一些常用的初等方法和技巧,简单介绍于下,仅供读者参考。一、中学不等式的证明方法1.比较法——应用比较法证明不等式的举例比较法是证明不等式最基本的方法。常用两种方法进行比较，一种是差值法，另一种是商值法。差值法较多地用在需要证明的不等式的两端项数较多而又便于作差的情况，商值法较多地用在不等式的两边是幂，阶乘等又便于作商的情况。学会灵活运用这两种比较法，对证明不等式有相当大的帮助[1]。例2.1.1设a,b,c是的三边，求证：ab+bc+caa2+b2+c22(ab+bc+ca).证明：a2+b2+c2-(ab+bc+ca)=[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]0∴a2+b2+c2ab+bc+ca(当a=b=c时取等号)。又a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)=(a-b)2+c2-2c(a+b)(a-b)2+c2-2c2=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c)0∴a2+b2+c22(ab+bc+ca).[注]此题在用差值法时结合三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这些性质来证明就方便。例2.1.2设a,b∈R+,证明aabbabba.证明: a,b∈R+,∴aabb0,0,abba0作商有:=,当ab0时,-2-1,0.∴1.当0ab时,01,0,∴1∴当a,b∈R+时有aabb成立。又 abba=(同上讨论)∴abba成立。∴当a,b∈R+时,aabbabba.2.综合法——应用综合法证明不等式的举例综合法是从已知条件或已知成立的不等式出发利用不等式的性质直接推导出所要证明的不等式。这种证明不等式的方法,通常叫做综合法。简称“由因导果”。在用综合法证明不等式时,实数的基本性质和几个常用的基本不等式常常作为论证的依据[2]。例2.2.1已知a与b是不相等的实数,求证:a2+b2+1a+b+ab分析与解答:由题设很容易联想到基本不等式:a2+b22ab(当且仅当a=b时等号成立),利用不等式性质推出结论。本题比较适合用综合法证明。证明:a和b是不相等的实数∴a2+b22ab又a2+12a,b2+12b-3-∴(a2+b2)+(a2+1)+(b2+1)2ab+2a+2b即：a2+b2+1a+b+ab例2.2.2设ab0,求证:a+3.证明: ab0∴a-b0,a=a+(b-b)=(a-b)+b∴a+=(a-b)+b+3=3∴a+3.[注]关键是怎样创造条件来利用均值不等式。把要证的结论和已知对比起来就会发现将a施以变形:a=(a-b)+b,这样就能利用均值不等式。3.分析法——应用分析法证明不等式的举例分析法就是从所要证明的不等式出发,寻求使这个不等式成立的充分条件...
