1．3二项式定理(一)VIP免费

1.3.1二项式定理(一)*教学目标：1．掌握二项式定理及其推导方法、二项式展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单的问题．2．揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广和提出二项式定理的推导过程，领悟从特殊到一般的思维方法，培养学生的归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力．教学重点：二项式定理、二项展开式和通项公式．教学难点：二项式定理的正确运用．1．问题某人投资100万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种年利率9％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息。试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？分析：本金100万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是:本金100万元，年利率9％，按每年复利一次计算，10年后的本利和是：那么如何计算(1+9％)10的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如(a+b)n的展开式。从本节课开始我们就来研究二项式定理（点明课题））Ⅰ.复习引入100(111%10)21010100(19%)(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)4=(a+b)1=a+b如何研究(a+b)n的二项展开式的规律性？Ⅱ.讲授新课a3+3a2b+3ab2+b3a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4将(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)展开后，它的各项是什么呢？容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)在上面四个括号中：每个都不取b的情况仅l种，即全取a，故有种，即a4的系数为.恰有l个取b的情况有种，故a3·b的系数为恰有2个取b的情况有种，故a2·b2的系数为恰有3个取b的情况有种，故a·b3的系数为4个都取b的情况有种，故b4的系数为因此04C04C14C14C24C24C34C34C44C44C44433422243144044)(bCabCbaCbaCaCba因此14C14C24C24C34C34C44C44C40413222334444444()abCaCabCabCabCb04C04C依此类推，对于任意正整数n，上面的关系也是成立的.即：011()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb(nN∈+)这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,各项系数叫做二项式系数.rnC(0,1,2,,)rn式中的rnrrnCab1rT叫做二项式展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第r+1项．说明：①任何命题均要经过严格的证明后，方可做为定理使用，但由于目前知识的局限，在学完数学归纳法后，会给予其严格的证明．②二项式定理是建立在排列、组合的基础上的，故可借助于排列组合的有关思想方法来理解和解决相关的二项式问题．公式的特征．①二项式展开式有如下特征：ⅰ展开式共有n+1项．ⅱ展开式中各项均为a与b的n次齐次式，其中a的指数由n逐项减少到0，b的指数由0逐项增加到n．②区分“项”、“项数”；“二项式系数”、“系数”．③通项是展开式中的第r+1项而非第r项．④公式简单变形：在二项式定理中，当用-b代替b时，当用a=1、b=x时有0111222()(*)nnnnnnnnnnabCaCabCabCbnN011222()nnnnnnnabCaCabCab(1)(1)rrnrrnnnnnCabCb122(1)1nnnnnnxCxCxCxrnC注：二项式系数与展开中某一项系数是有区别的。例如：(1＋2x)6展开式中第三项中系数为26C·22＝60而第三项的二项式系数是26C＝15。Ⅲ例题解析例1展开解：原式41(1)x1223344444423411111..().()()46411CCCCxxxxxxxx例2展开解：先将原式化简，再展开．61(2)xx6663615243342666631211(2)()(21)1[(2)(2)(2)(2)(2)xxxxxxxCxCxCxCxx51666654323(2)]1(6419224016060121)CxCxxxxxxx32236012164192240160xxxxxx点评：①对较复杂的二项式，可先进行化简整理(如提公因式)，再进行展开．对(a-b)n形式的二项式展开式，展开式中各项的符号可直接正负相间写出．②此题也可不化简，直接运用二项式展开公式，把当作a，当作b，但这样做更繁．2x1x...