第五章定积分VIP专享VIP免费

第五章定积分定积分的有关知识是从17世纪出现和发展起来的，导致定积分出现的主要背景：一是几何上的面积，长度及体积；二是物理上的速度、距离和变力做功。本章从实际背景出发引进了定积分的定义，然后讨论它的性质和计算方法。第一节定积分的概念与性质例1求曲边梯形的面积一、问题的提出（引例）中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四边形，梯形等规则图形面积的计算。那么不规则图形的面积怎么来求呢?下面将介绍任一图形面积的计算方法，例如：XAababA2ab曲边梯形（三条直边，一条曲边）0y面积A=A1-A2故问题为求出两个曲边梯形的面积如何去求曲边梯形的面积呢？下面将展开讨论：1设一曲边梯形由直线x=a,x=b,y=0及曲线解：step1：分割在[a,b]中任意插入n-1个分点bxxxxxann1210把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi](i=1~n)区间长度为1iiixxx(i=1~n)0)(xfy所围成，求面积A,其中f(x)在[a,b]上连续。step2:近似iiiiiixfAnixx)()~1(],,[1则step3:求和iniixfA)(1step4:取极限12max{,,}(0)nxxLx当分割无限加细,即小区间的最大长度趋近于零时，01lim()niiiAfx用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度()vvt是时间间隔],[10TT上t的一个连续函数，且()0vt，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割001211nnTtttttT1iiittt()iiisvt部分路程值某时刻的速度（2）求和1()niiisvt（3）取极限12max{,,,}nttt01lim()niiisvt路程的精确值上面两例可以看出：两个不同问题所求的量，采用了同样的计算方法，最终都归结为具有相同结构的和式极限。抛开这些问题的具体意义，在数学上就抽象出定积分的概念。设函数()fx在[,]ab上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在[,]ab中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间[,]ab分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，二、定积分的定义定义怎样的分法，()bfxdxIa01lim()niiifx被积函数被积表达式积分变量[,]ab积分区间也不论在小区间1[,]iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记为积分上限积分下限积分和积分符号badxxf)(badttf)(baduuf)(注意：由定积分定义，例1，例2分别为：10)(,)(TTbadttvSdxxfA1。极限存在指：任意分割，任一取点，和式极限存在且相等。2。定积分是个数，与积分变量的符号无关，即3。规定：baabbadxxfdxxfbadxxfba)()(0)(时，时，4。ninnnixi~100~100而错误！为什么？当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，则)(xf在区间],[ba上可积.则)(xf在区间],[ba上可积.三、存在定理且只有有限个间断点（第一类间断点），,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值xoy1A2A3A4Abadxxf)(四、定积分的几何意义曲边梯形面积的代数和4321AAAA如图：五、小结练习１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求乘积近似代替练习例1dxx2224解：由几何意义22222214dxx例2计算：计算：xdxsin解：如图0sinxdx例3利用定义计算dxex10解：1。将[0，1]n等分，n~1i1,1inxinxii则2。ninixii~1取3。求和nexfninniii1.)()...(121nnnneeennneeen1...