n阶变系数线性常微分方程的可积性VIP免费

n阶变系数线性常微分方程的可积性答辩人：郭俊指导教师：胡爱莲本文主要是在前人研究一类三阶变系数线性非齐次微分方程可积性的基础上，进行推广得到了一般的n阶变系数线性非齐次常微分方程的可积性和方程)()()()()(1)2(2)1(1)(xFyxayxayxayxaynnnnn在条件2113221222110000nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa下的通解公式.1．四阶变系数线性非齐次常微分程可积性的推导1．1引理1．2四阶变系数线性非齐次常微分方程可积性2．n阶变系数线性非齐次常微分程可积性(4n)2．1五阶变系数线性非齐次常微分方程可积性2．2n阶变系数线性非齐次常微分方程可积性引理)(xyy是四阶变系数线性常微分方程的解的充分必要条件是)(44xgg、)(33xgg、)(22xgg、)(11xgg，使得4)4(gy，3gy，2gy，1gy且41322314agagagagFy，),(bax.定理在四阶变系数线性非齐次常微分方程)(4321)4(xFyayayayay中，若4a、3a、2a、1a、F都在),(ba可导且04a，当满足424114434224244334000aaaaaaaaaaaaaaaaa时，则可用初等积分法求此方程的通解.我们可以找到方程0)()(44441444aFFagaaaga是关于4g的一阶线性常微分方程,其通为][)(4444444144414cdxeaaFFaexgdxaaaadxaaaadxeaaFFaeecdxaaaadxaaaadxaaaa4414441444144444dxeaaFFaeecxfxfxf)(444)()(4即在),(ba内存在可导函数)(44xgg,使得0)()(44441444aFFagaaagadxdxeaaFFaececcdxxgxgxfxfxf)()()()(444)((3)(4343232)()(cdxxgxgdxdxdxeaaFFaecxcdxdxecxfxfxf])([)()(444)(23)(4121)()()(cxdxgxg()23421[()]2fxccedxdxdxxcxc()()444{[()]}fxfxaFFaeedxdxdxdxa由引理把上几式代入412322314)(acdxgagagagFy的线性方程的解推论若4a、F都在),(ba可导且04a则方程)()()21()2161(4'4''42'''423)4(xFyayaMxyaNMxxyaNxMxxy(其中),(,NM)的通解为412424234234)()()21()2161(acdxgaMxgaNMxxgaNxMxxgFy其中][)(4)2161(444)2161(4424234424234cdxeaaFFaexgdxaanxmxxadxaanxmxxa343)()(cdxxgxg、232)()()(cxdxgxg、121)()()(cxdxgxg定理五阶的变系数线性性非齐次常微方程)(5432)4(1)5(xFyayayayayay若5a、4a、3a、2a、1a、F都在),(ba可导且05a，当满足条件5251155352255453352554450000aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa时，则可用初等积分法求此方程的通解.定理n阶变系数线非齐次性常微分程)()()()()('1)2(2)1(1)(xFyxayxayxayxaynnnnn当满足条件2113221222110000nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa时,可用初等积分法求其通解,并可推出求解公式.由于我们可以找到微分方程0)()(1nnnnnnnaFFagaaaga是关于ng的一阶线性常微分方程,其通为][)(11ndxaaaannndxaaaancdxeaaFFaexgnnnnnndxeaaFFaeecxfnnnxfxfn)()()(（其中dxaaaaxfnnn1)(）又因为12123211)()()()()()(cdxxgxgcdxxgxgcdxxgxgnnn所以把ng、1ng……2g、1g带入以下式子nnnnnnagagagagagFy12121就得到方程的解表达式.推论若na、F都在),(ba可导且0na，则方程)()()21())!3(1)!2(1)!1(1()1(2)1()3()2()1(1)(xFyayaMxyaNMxxyaNxnMxnxnynnnnnnnnnn(其中),(,NM)的通解为nnnnnnnnnnacdxgaMxgaNMxxgaNxMxxaaNxnMxnxngFy)()()21()2161())!3(1)!2(1)!1(1()1(12422323)3()2()1(1通过以上的研究，我们把这一类变系数线性非齐次常微分方程的可积性推广到了一般的n阶情形.