2.1.1合情推理1．下列推理中，是归纳推理的有________．①A、B为定点，动点P满足PA＋PB＝2a>AB，得P的轨迹为椭圆．②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜出数列的前n项和Sn的表达式．③由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab.④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．解析从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn是从特殊到一般的推理．答案②2．下面几种推理是合情推理的是________．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和是180°；③某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形内角和是(n－2)·180°.答案①②④3．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比“上述命题，可以得到命题：__________________”，这个类比命题的真假性是__________．答案夹在两平行平面间的平行线段相等真命题4．观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n个等式为________．答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)5．如图(1)有面积关系：＝，则图(2)有体积关系：＝________.解析把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得＝.答案6．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn，则有如下性质：①通项：an＝am＋(n－m)d；②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N*)；③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m、n、p∈N*)；④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假．解在等比数列{bn}中，公比为q，前n项和为Sn，则可以得到：①通项：bn＝bm·qn－m(真命题)；②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq(m，n，p，q∈N*)(真命题)；③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b(m，n，p∈N*)(真命题)；④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列(假命题)．7．当a，b，c∈(0，＋∞)时，由≥，≥，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是________．解析≥(ai＞0，i＝1,2，…，n)是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a1＝a2＝…＝an时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．答案≥(ai＞0，i＝1,2，…，n)8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．解析对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，因此＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，而T4，，，的公比为q16，因此，T4，，，成等比数列．答案9．将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415…………………………根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左向右的第3个数是________．解析 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，∴第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.答案10．观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.解析观察等式可知，cosα的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m＝128×4＝512；取α＝0，则cosα＝1，cos10α＝1，代入等式⑤，得1＝m－1280＋1120＋n＋p－1，即n＋p＝－350(1)取α＝，则cosα＝，cos10α＝－，代入等式⑤，得－＝m10－1280×8＋1120×6＋n×4＋p×2－1，即n＋4p＝－200(2)联立(1)(2)，得n＝－400，p＝50，∴m－n＋p＝512－(－400)＋50＝962.答案96211．就任一等差数列{an}，计算a7＋a10和a8＋a9，a10＋a40和a20＋a30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题．在等比数列中...
