第1讲相似三角形的判定及有关性质基础巩固题组(建议用时:50分钟)一、填空题1.如图,BD,CE是△ABC的高,BD,CE交于F,写出图中所有与△ACE相似的三角形为________.解析RtACE△与RtFCD△和RtABD△各共一个锐角,因而它们均相似,又易知∠BFE=∠A,故RtACERtFBE.△∽△答案△FCD、△FBE、△ABD2.如图,在△ABC中,M,N分别是AB,BC的中点,AN,CM交于点O,那么△MON与△AOC面积的比是________.解析∵M,N分别是AB,BC中点,故MN綉AC,MONCOA△∽△,∴==.答案1∶43.(·渭南模拟)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则AE=________.解析由于∠ACD=∠AEB=90°,∠B=∠D,∴△ABEADC∽△,∴=.又AC=4,AD=12,AB=6,∴AE===2.答案24.(·佛山质检)如图,在直角梯形ABCD中,DCAB∥,CBAB⊥,AB=AD=a,CD=,点E,F分别为线段AB,AD的中点,则EF=________.解析连接DE和BD,依题知,EBDC∥,EB=DC=,CBAB⊥,∴EBCD为矩形,∴DEAB⊥,又E是AB的中点,所以△ABD为等腰三角形.故AD=DB=a,∵E,F分别是AD,AB的中点,∴EF=DB=a.答案5.如图,△ABCAFE∽△,EF=8,且△ABC与△AFE的相似比是3∶2,则BC等于________.解析∵△ABC∽△AFE,∴=.又EF=8,∴BC=12.答案126.已知圆的直径AB=13,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于D(AD>BD),若CD=6,则AD=________.解析如图,连接AC,CB,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.设AD=x,∵CDAB⊥于D,∴由射影定理得CD2=AD·DB,即62=x(13-x),x2∴-13x+36=0,解得x1=4,x2=9.AD∵>BD,∴AD=9.答案97.(·广东卷)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BEAC⊥,垂足为E,则ED=________.解析在RtABC△中,BC=3,AB=,所以∠BAC=60°.因为BE⊥AC,AB=,所以AE=,在△EAD中,∠EAD=30°,AD=3,由余弦定理知,ED2=AE2+AD2-2AE·AD·cosEAD∠=+9-2××3×=,故ED=.答案8.(·茂名模拟)如图,已知ABEFCD∥∥,若AB=4,CD=12,则EF=________.解析∵AB∥CD∥EF,∴=,=,∴=,=,4∴(BC-BF)=12BF,∴BC=4BF,∴=4=,∴EF=3.答案39.如图,在梯形ABCD中,ADBC∥,BD与AC相交于O,过O的直线分别交AB,CD于E,F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,则EF=________.解析∵EF∥AD∥BC,∴△OADOCB∽△,OAOC∶=AD∶BC=12∶20,OAE△∽△CAB,OEBC∶=OA∶CA=12∶32,EF∴=2××20=15.答案15二、解答题10.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AE=AC,BD=AB,点F在BC上,且CF=BC.求证:(1)EF⊥BC;(2)∠ADE=∠EBC.证明设AB=AC=3a,则AE=BD=a,CF=a.(1)==,==,∴=.又∠C为公共角,故△BAC∽△EFC,由∠BAC=90°,EFC∴∠=90°,∴EFBC.⊥(2)由(1)得EF=a,故==,==,∴=.DAE∵∠=∠BEF=90°,ADEFBE∴△∽△,∴∠ADE=∠EBC.11.如图,已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,且AE=AF.求证:(1)B,D,H,E四点共圆;(2)EC平分∠DEF.证明(1)在△ABC中,因为∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC=120°,于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°,所以B,D,H,E四点共圆.(2)连接BH,则BH为∠ABC的角平分线,∠HBD=30°,由(1)知B,D,H,E四点共圆,所以∠CED=∠HBD=30°,因为AE=AF,AD为角平分线,所以EF⊥AD,又∠AHE=∠EBD=60°,所以∠CEF=30°,所以EC平分∠DEF.12.如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC∥,AB=DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E,求证:(1)△ABC≌△DCB;(2)DE·DC=AE·BD.证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=BD.AB∵=DC,BC=CB,ABCDCB.∴△≌△(2)∵△ABC≌△DCB,ACB∴∠=∠DBC,∠ABC=∠DCB,ADBC∵∥,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC,DAC∴∠=∠DBC,∠EAD=∠DCB,EDAC∵∥,∴∠EDA=∠DAC,EDA∴∠=∠DBC,∴△ADECBD.∽△DEBD∴∶=AE∶DC,DE·DC∴=AE·BD.