第1讲相似三角形的判定及有关性质基础巩固题组(建议用时：50分钟)一、填空题1．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形为________．解析RtACE△与RtFCD△和RtABD△各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE＝∠A，故RtACERtFBE.△∽△答案△FCD、△FBE、△ABD2.如图，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．解析∵M，N分别是AB，BC中点，故MN綉AC，MONCOA△∽△，∴＝＝.答案1∶43.(·渭南模拟)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________．解析由于∠ACD＝∠AEB＝90°，∠B＝∠D，∴△ABEADC∽△，∴＝.又AC＝4，AD＝12，AB＝6，∴AE＝＝＝2.答案24.(·佛山质检)如图，在直角梯形ABCD中，DCAB∥，CBAB⊥，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________．解析连接DE和BD，依题知，EBDC∥，EB＝DC＝，CBAB⊥，∴EBCD为矩形，∴DEAB⊥，又E是AB的中点，所以△ABD为等腰三角形．故AD＝DB＝a，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF＝DB＝a.答案5.如图，△ABCAFE∽△，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC等于________．解析∵△ABC∽△AFE，∴＝.又EF＝8，∴BC＝12.答案126．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________．解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CDAB⊥于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，x2∴－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.AD∵＞BD，∴AD＝9.答案97．(·广东卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BEAC⊥，垂足为E，则ED＝________．解析在RtABC△中，BC＝3，AB＝，所以∠BAC＝60°.因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cosEAD∠＝＋9－2××3×＝，故ED＝.答案8.(·茂名模拟)如图，已知ABEFCD∥∥，若AB＝4，CD＝12，则EF＝________．解析∵AB∥CD∥EF，∴＝，＝，∴＝，＝，4∴(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF，∴＝4＝，∴EF＝3.答案39.如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________．解析∵EF∥AD∥BC，∴△OADOCB∽△，OAOC∶＝AD∶BC＝12∶20，OAE△∽△CAB，OEBC∶＝OA∶CA＝12∶32，EF∴＝2××20＝15.答案15二、解答题10.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝AC，BD＝AB，点F在BC上，且CF＝BC.求证：(1)EF⊥BC；(2)∠ADE＝∠EBC.证明设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF＝a.(1)＝＝，＝＝，∴＝.又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°，EFC∴∠＝90°，∴EFBC.⊥(2)由(1)得EF＝a，故＝＝，＝＝，∴＝.DAE∵∠＝∠BEF＝90°，ADEFBE∴△∽△，∴∠ADE＝∠EBC.11．如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.求证：(1)B，D，H，E四点共圆；(2)EC平分∠DEF.证明(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°，于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的角平分线，∠HBD＝30°，由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°，因为AE＝AF，AD为角平分线，所以EF⊥AD，又∠AHE＝∠EBD＝60°，所以∠CEF＝30°，所以EC平分∠DEF.12.如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC∥，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.AB∵＝DC，BC＝CB，ABCDCB.∴△≌△(2)∵△ABC≌△DCB，ACB∴∠＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，ADBC∵∥，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，DAC∴∠＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB，EDAC∵∥，∴∠EDA＝∠DAC，EDA∴∠＝∠DBC，∴△ADECBD.∽△DEBD∴∶＝AE∶DC，DE·DC∴＝AE·BD.
