【创新设计】（人教通用）高考数学二轮复习专题整合规范练4立体几何理（含最新原创题，含解析）1．如图，在四棱锥E－ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD＝BC＝AB，∠ABC＝.(1)求证：△BCE为直角三角形；(2)若AE＝AB，求CE与平面ADE所成角的正弦值．(1)证明在△ABC中，AB＝2BC，∠ABC＝，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos＝3BC2，∴AC＝BC，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵EA⊥平面ABCD，∴EA⊥BC，又∵AC∩AE＝A，∴BC⊥平面ACE，∴BC⊥CE.∴△BCE为直角三角形．(2)解由(1)知：AC⊥BC，AE⊥平面ABCD，以点C为坐标原点，CA，CB，AE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系C－xyz.设BC＝a，则AE＝AB＝2a，AC＝a，如图2，在等腰梯形ABCD中，过点C作CG⊥AB于G，则GB＝a，∴CD＝AB－2GB＝a，过点D作DH⊥BC于H，由(1)知，∠DCH＝60°，∴DH＝，CH＝，∴D.又C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，E(a,0,2a)，∴AD＝，AE＝(0,0,2a)，CE＝(a,0,2a)，设平面ADE的一个法向量为n＝(x0，y0，z0)，则得令x0＝，则y0＝－3，∴n＝(，－3,0)．设CE与平面ADE所成角为θ，则sinθ＝|cos〈CE·n〉|＝＝＝.∴直线CE与平面ADE所成角的正弦值为.2．平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝，且∠BAD＝45°，以BD为折线，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC.(1)求证：AB⊥DC；(2)求二面角B－AC－D的大小．(1)证明在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos45°＝1，∴BD＝1，∴AB⊥BD，又∵平面ABD⊥平面BDC，平面ABD∩平面BDC＝BD，∴AB⊥平面BDC，又DC⊂平面BDC，∴AB⊥DC.(2)解在四面体ABCD中，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,1)设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，而BA＝(0,0,1)，BC＝(－1,1,0)，由得取n＝(1,1,0)，再设平面DAC的法向量为m＝(x，y，z)，而DA＝(1,0,1)，DC＝(0,1,0)，由，得，取m＝(1,0，－1)，所以cos〈n，m〉＝＝，所以二面角B－AC－D的大小是60°.3.如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD＝DE＝2BF＝2.(1)求证：AC⊥EF；(2)求二面角C－EF－D的大小；(3)设G为CD上一动点，试确定G的位置使得BG∥平面CEF，并证明你的结论．(1)证明连接BD，∵FB∥ED，∴F，B，E，D共面，∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ED⊥AC，又ABCD为正方形，∴BD⊥AC，而ED∩DB＝D，∴AC⊥平面DBFE，而EF⊂平面DBFE，∴AC⊥EF.(2)解如图建立空间直角坐标系．则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(2,2,1)，E(0,0,2)，由(1)知AC为平面DBFE的法向量，即AC＝(－2,2,0)，又CE＝(0，－2,2)，CF＝(2,0,1)设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则有即取z＝1，则x＝－，y＝1，∴n＝则cos〈n，AC〉＝＝＝，又平面CEF与平面DBFE的二面角为锐角，所以θ＝.(3)解设G(0，y0,0)，则BG＝(－2，y0－2,0)，由题意知BG⊥n，∴BG·n＝0，即(－2，y0－2,0)·＝0，解得y0＝1，∴G点坐标为(0,1,0)，即当G为CD的中点时，BG∥平面CEF.4．如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2.(1)若点E为AB的中点，求证：BD1∥平面A1DE；(2)在线段AB上是否存在点E，使二面角D1－EC－D的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．解(1)四边形ADD1A1为正方形，连接AD1，A1D∩AD1＝F，则F是AD1的中点，又因为点E为AB的中点，连接EF，则EF为△ABD1的中位线，所以EF∥BD1.又因为BD1⊄平面A1DE，EF⊂平面A1DE，所以BD1∥平面A1DE.(2)根据题意得DD1⊥平面ABCD，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)．设满足条件的点E存在，令E(1，y0,0)(0≤y0≤2)，EC＝(－1,2－y0,0)，D1C＝(0,2，－1)，设n1＝(x1，y1，z1)是平面D1EC的法向量，则得令y1＝1，则平面D1EC的法向量为n1＝(2－y0,1,2)，由题知平面DEC的一个法向量n2＝(0,0,1)．由二面角D1－EC－D的大小为得cos＝＝＝，解得y0＝2－∈[0,2]，所以当AE＝2－时，二面角D1－EC－D的大小为.
