第1讲数列的概念及简单表示法基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1…，的一个通项公式是an等于()A.B．cosC．cosπD．cosπ解析令n＝1，2，3…，，逐一验证四个选项，易得D正确．答案D2．(·开封摸底考试)数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝()A．7B．6C．5D．4解析依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.答案D3．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于()A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋1解析当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，an∴＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.答案A4．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A.B.C．4D．0解析 an＝－3＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.答案D5．(·东北三校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，“则λ＜1”“是数列{an}为递增数”列的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an＞0，即2n＋1＞2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3＞2λ，λ＜.由λ＜1可推得λ＜，但反过来，由λ＜不能得到λ＜1，“因此λ＜1”是“数列{an}”为递增数列的充分不必要条件，故选A.答案A二、填空题6．(·大连双基测试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________．解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝答案7．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________．解析由题意知：a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，an∴＝(n≥2)，∴a3＋a5＝＋＝.答案8．数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a7＝________．解析由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.答案1三、解答题9．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{an}的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围．解(1)因为an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，所以an＝1＋.结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7…＞＞an＞1(n∈N*)．所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)an＝1＋＝1＋.因为对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，所以5＜＜6，解得－10＜a＜－8.故实数a的取值范围是(－10，－8)．10．(·陕西五校模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－p，其中p是不为零的常数．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)当p＝3时，数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an(n∈N*)，b1＝2，求数列{bn}的通项公式．(1)证明因为Sn＝4an－p，所以Sn－1＝4an－1－p(n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得＝.由Sn＝4an－p，令n＝1，得a1＝4a1－p，解得a1＝.所以{an}是首项为，公比为的等比数列．(2)解当p＝3时，由(1)知，an＝，由bn＋1＝bn＋an，得bn＋1－bn＝，当n≥2时，可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)…＋＋(bn－bn－1)＝2＋＝3－1，当n＝1时，上式也成立．∴数列{bn}的通项公式为bn＝3－1.能力提升题组(建议用时：25分钟)11．数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项是()A．3B．19C.D.解析因为an＝，运用基本不等式得≤，，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，an＝最大．答案C12．(·大庆质量检测)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn＝a1＋a2…＋＋an，则下列结论正确的是()A．a2014＝－1，S2014＝2B．a2014＝－3，S2014＝5C．a2014＝－3，S2014＝2D．a2014＝－1，S2014＝5解析由an＋1＝an－an－1(n≥2)，知an＋2＝an＋1－an，则an＋2＝－an－1(n≥2)，an＋3＝－an…，，an＋6＝an，又a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，所以当k∈N时...
