高三数学步步高（理）第三编 导数及其应用VIP免费

第三编导数及其应用§3.1变化率与导数、导数的计算基础自测1.在曲线y=x2+1的图像上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为（）A.B.C.D.答案C2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则等于（）A.cos2x-cosxB.cos2x-sinxC.cos2x+cosxD.cos2x+cosx答案C3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式x＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是（）A.af(b)＞bf(a)B.af(a)＞bf(b)C.af(a)＜bf(b)D.af(b)＜bf(a)答案B4.（·辽宁理，6）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（）A.B.［-1，0］C.［0，1］D.答案A5.(·全国Ⅱ理，14)设曲线y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=.答案2例1求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.解 Δy=例2求下列各函数的导数：（1）（2）（3）（4）解(1) ∴（2）方法一y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴=3x2+12x+11.方法二=(x+3)+（x+1）（x+2）=+（x+1）］（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3） y=∴（4），∴例3求下列函数的导数：（1）y=;(2)y=sin2(2x+);(3)y=x.解（1）设u=1-3x,y=u-4.则x=u·x=-4u-5·（-3）=.(2)设y=u2,u=sinv,v=2x+,则x=u·v·x=2u·cosv·2=4sin（2x+）·cos（2x+）=2sin（4x+）.(3)=(x)′=·+x·（)′=+.例4（12分）已知曲线y=（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1） =x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4.2分∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4分（2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，则切线的斜率k=|=.6分∴切线方程为即8分 点P（2，4）在切线上，∴4=即∴∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.12分1.求y=在x=x0处的导数.解2.求y=tanx的导数.解3.设函数f(x)=cos()(0＜＜).若f(x)+是奇函数，则=.答案4．若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=.答案2或一、选择题1.若则等于()A.-1B.-2C.1D.答案A2.（·全国Ⅰ理，7）设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a等于（）A.2B.C.D.-2答案D3.若点P在曲线y=x3-3x2+(3-)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A.B.C.D.答案B4.函数f(x)、g(x)在区间［a，b］上满足·g(x)＞f(x)·且g(x)＞0，则对任意x∈（a,b)都有（）A.f(x）·g(x)＞f(a)·g(b)B.f(x)·g(x)＞f(b)·g(b)C.f(x)·g(a)＞f(a)·g(x)D.f(x)·g(b)＞f(b)·g(x)答案C5.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间（1，2）上的任意x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|”恒成立的只有（）A.B.f(x)=|x|C.f(x)=2xD.f(x)=x2答案A6.已知曲线S:y=3x-x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线，其切线条数为()A.0B.1C.2D.3答案D二、填空题7.曲线y=和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.答案8.若函数f(x)的导函数为=-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0＜a＜1)的单调递减区间是.答案三、解答题9.求下列函数在x=x0处的导数.（1）f(x)=cosx·sin2x+cos3x,x0=;（2）f(x)=（3）解（1）∴.（2） ∴=0.（3） ∴10.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.解设曲线上过点P（x0,y0）的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2，则解得x0=1,所以y0=0,即点P（1，0），点P到直线2x-y+3=0的距离为，∴曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.11.（·海南、宁夏，21）设函数(a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.（1）求的解析式；（2）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解，于是解得或因为a,bZ，故．（2）证明在曲线上任取一点．由知，过此点的切线方程为．令x=1得，切线与直线x=1的交点为．令y=x得，切线与直线y=x的交点为．直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为．所以，所围三角形的面积为定值2.12.偶函数...