异面直线所成的角求法-总结加分析VIP免费

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝3，求AD、BC所成角的大小．解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中EF＝3FG＝EG＝1∴∠EGF＝120°∴AD与BC成60°的角。2．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．答案：45°3．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝2，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN∥SM∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SC＝a，在△BQN中BN＝a25NQ＝21SM＝42aBQ＝a414∴COS∠QNB＝5102222NQBNBQNQBN4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求BM与AN所成的角．解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，易证∠GNA就是BM与AN所成的角．设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝5，GN＝BM＝6，cos∠GNA＝1030562556。5．如图，在正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是1BB、CD的中点．求AE与FD1所成的角。BMANCS证明：取AB中点G，连结A1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF∥AD，又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。6．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?(2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；(3)求直线AE和CC′所成的角的正切值；(4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值解：(1) A平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且BCC′,∴直线BA′与CC′是异面直线同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线(2) CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角 ∠A′BB′=45°∴BA′和CC′所成的角是45°(3) AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝＝，所以AE和CC′所成角的正切值是(4)取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EF∥＝AB∥＝AB,∴ABFE是平行四边形，从而BF∥＝AE,即BF∥AE且BF=AE.∴BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF的各边长分别为A′B＝2，A′F＝BF＝，由余弦定理得：cos∠A′BF＝7.长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。解法一：如图④，过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E点。则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=3，∠DB1E=∴∠DB1E=。ABFM(图1－29)55B(图1－28)AABCDCDFE解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=3，∠C1BE=，∴∠C1BE=。练习：8.如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若棱BB1=BC=1，AB=，求DB和AC所成角的余弦值.中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1D=，BC1=5，BE=，∴∠BOE=∴∠BOE=解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。则OF=，∠OEF=，∴异面直线B1D与BC1所成的角为。解法三：...