第3讲平面向量一、选择题1．(·重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()．A．－B．0C．3D．解析因为2a－3b＝(2k－3，－6)，且(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.答案C2．(·河南十所名校联考)在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若CM＝－2CA＋λCB，则λ＝()．A．1B．2C．3D．4解析由点A，B，M三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3.答案C3．(·吉林省实验中学模拟)在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，CD与BE交于点F，设AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，则(x，y)为()．A.B．C.D．解析由题意知点F为△ABC的重心，设H为BC中点，则AF＝AH＝×(AB＋AC)＝a＋b，所以x＝，y＝.答案C4．(·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(1,1)，且OA·OC＝1，则AB·AC等于()．A．－1B．1C.D．解析依题意，|OA|＝|OC|＝|AB|＝，OA·OC＝|OA||OC|cos∠AOC＝1，cos∠AOC＝，∠AOC＝，则|AC|＝|OA|＝|OC|＝，∠BAC＝，AB·AC＝|AB||AC|cos∠BAC＝1.答案B5．(·浙江卷)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则()．A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2解析对于min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不定，因此A、B均错；而|a＋b|，|a－b|中的较大者与|a|，|b|可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，因此选D.答案D二、填空题6．(·山东卷)在△ABC中，已知AB·AC＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．解析由A＝，AB·AC＝tanA，得|AB|·|AC|·cosA＝tanA，即|AB|·|AC|×＝，∴|AB|·|AC|＝，∴S△ABC＝|AB|·|AC|·sinA＝××＝.答案7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足BM＝2MA，则CM·CB＝________.解析法一如图建立平面直角坐标系．由题意知：A(3,0)，B(0,3)，设M(x，y)，由BM＝2MA，得解得即M点坐标为(2,1)，所以CM·CB＝(2,1)·(0,3)＝3.法二CM·CB＝(CB＋BM)·CB＝CB2＋CB×＝CB2＋CB·(CA－CB)＝CB2＝3.答案38．(·杭州质量检测)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若OA·OB＝6，则|OG|的最小值是________．解析如图，在△AOB中，OG＝OE＝×(OA＋OB)＝(OA＋OB)，又OA·OB＝|OA||OB|·cos60°＝6，∴|OA||OB|＝12，∴|OG|2＝(OA＋OB)2＝(|OA|2＋|OB|2＋2OA·OB)＝(|OA|2＋|OB|2＋12)≥×＝×36＝4(当且仅当|OA|＝|OB|时取等号)．∴|OG|≥2，故|OG|的最小值是2.答案2三、解答题9．(·江苏卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．(1)证明由|a－b|＝，即(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.(2)解由已知条件cosβ＝－cosα＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sinα＋sin(π－α)＝1，即sinα＝，故α＝或α＝.当α＝时，β＝(舍去)，当α＝时，β＝.所以，α，β的值分别为，.10．已知向量m＝(sinx，－1)，n＝(cosx,3)．(1)当m∥n时，求的值；(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求f的取值范围．解(1)由m∥n，可得3sinx＝－cosx，于是tanx＝－，∴＝＝＝－.(2)在△ABC中A＋B＝π－C，于是sin(A＋B)＝sinC，由正弦定理，得sinC＝2sinAsinC，∵sinC≠0，∴sinA＝.又△ABC为锐角三角形，∴A＝，于是
