第2讲数列的综合问题一、选择题1．(·杭州质量检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使Sn＞0成立的最小正整数n为()．A．6B．7C．8D．9解析 a4＜0，a5＞|a4|，∴a4＋a5＞0，∴S8＝＝＞0.∴最小正整数为8.答案C2．(·广州综合测试)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S＝()．A．1006B．1007C．1008D．1009解析由an＋1－an＝sin⇒an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sinπ＝1＋0＝1，a3＝a2＋sin＝1＋(－1)＝0，a4＝a3＋sin2π＝0＋0＝0，a5＝a4＋sin＝0＋1＝1，∴a5＝a1，如此继续可得an＋4＝an(n∈N*)，数列{an}是一个以4为周期的周期数列，而2014＝4×503＋2，因此S2014＝503×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1008.答案C3．(·吉林省实验中学模拟)an＝(2x＋1)dx，数列的前项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn＝n－8，则bnSn的最小值为()．A．－3B．－4C．3D．4解析an＝(2x＋1)dx＝n2＋n＝n(n＋1)，所以＝－，所以Sn＝，所以bnSn＝＝n＋1＋－10≥－4，当且仅当n＋1＝，即n＝2时等号成立，所以bnSn的最小值为－4.答案B4．已知各项都为正的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为()．A.B．C.D．解析由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理有q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由＝4a1，得aman＝16a，即a2m＋n－2＝16a，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)≥＝＝，当且仅当＝，m＋n＝6，即n＝2m＝4时取得最小值.答案A二、填空题5．(·辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.解析 a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，因此S6＝＝63.答案636．(·江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an＝________.解析根据题意，由于各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1，所以q＞1. ＝q，∴a1(q－1)＝1，a1＝，∴a3＝＝＝q－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当q＝2时取得等号，故可知数列{an}的通项公式an＝2n－1.答案2n－17．(·咸阳一模)已知函数f(x)＝x＋sinx，项数为19的等差数列{an}满足an∈，且公差d≠0.若f(a1)＋f(a2)…＋＋f(a18)＋f(a19)＝0，则当k＝________时，f(ak)＝0.解析因为函数f(x)＝x＋sinx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{an}有19项，an∈，若f(a1)＋f(a2)…＋＋f(a18)＋f(a19)＝0，则必有f(a10)＝0，所以k＝10.答案108．(·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．解析由已知解得a1＝－3，d＝，那么nSn＝n2a1＋d＝－，由于函数f(x)＝－(x＞0)在x＝处取得极小值也是最小值，因而检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－49.答案－49三、解答题9．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝4，{an}的前3项和为7.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a1b1＋a2b2…＋＋anbn＝(2n－3)2n＋3，设数列{bn}的前n项和为Sn，求证：＋＋…≤＋2－.(1)解设数列{an}的公比为q，由已知得q>0，且∴∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)证明当n＝1时，a1b1＝1，且a1＝1，解得b1＝1.当n≥2时，anbn＝(2n－3)2n＋3－(2n－2－3)2n－1－3＝(2n－1)·2n－1. an＝2n－1，∴当n≥2时，bn＝2n－1. b1＝1＝2×1－1满足bn＝2n－1，∴数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*)．∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．∴Sn＝n2.∴当n＝1时，＝1＝2－.当n≥2时，＝<＝－.∴…≤＋＋＋2…－＋－＋＋－＝2－.10．(·四川卷)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.它在x轴上的截距为a2－.由题意知，a2－＝2－，解得a2＝2.所以，d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n，所以Tn…＝＋＋＋＋＋，2Tn…＝＋＋＋＋.因此，2Tn－Tn...
