【创新设计】（人教通用）高考数学二轮复习专题整合4-1立体几何的基本问题(计算与位置关系)理（含最新原创题，含解析）一、选择题1．(·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()．A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.答案D2．(·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()．A．54B．60C．66D．72解析还原为如图所示的直观图，S表＝S△ABC＋S△DEF＋S矩形ACFD＋S梯形ABED＋S梯形CBEF＝×3×4＋×3×5＋5×3＋×(2＋5)×4＋×(2＋5)×5＝60.答案B3．(·安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()．A.B.C．6D．7解析如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为V＝2×2×2－2×××1×1×1＝.答案A4．(·潍坊一模)三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为()．A.πB.πC．3πD．12π解析如图，因为AB⊥BC，所以AC是△ABC所在截面圆的直径，又因为SA⊥平面ABC，所以△SAC所在的截面圆是球的大圆，所以SC是球的一条直径．由题设SA＝AB＝BC＝1，由勾股定理可求得：AC＝，SC＝，所以球的半径R＝，所以球的表面积为4π×2＝3π.答案C二、填空题5．(·金丽衢十二校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析由题意可得，几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角，角的相邻三条棱长分别是1,2,2，所以几何体的体积为8－＝.答案6．(·山东卷)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析设棱锥的高为h，则V＝×S底·h＝×6××22×h＝2，∴h＝1，由勾股定理知，侧棱长为＝， 六棱锥六个侧面全等，且侧面三角形的高为＝2，∴S侧＝×2×2×6＝12.答案127．(·武汉调研测试)已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为________．解析由三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为，母线长为2的圆锥的一半，其表面积是整个圆锥表面积的一半与轴截面的面积之和．所以，S＝××2π×1×2＋×π×12＋×2×＝＋.答案＋8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)．①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E－ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.解析因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；易得②正确；记正方体的体积为V，则VE－ABC＝V为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．答案①②③三、解答题9.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE.证明(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，DE∩CD＝D，所以A1F⊥平面BCDE.又 BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.10．(·威海一模)如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：PM∥平面AFC；(3)求多面体CD－AFEB的体积V.(1)证明 矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，又AF⊂平面ABEF，所以CB⊥AF，又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝，∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF，BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB，又 AF⊂平面ADF；∴平面ADF⊥平面CBF.(2)证明连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，∴PH∥CF，又 CF⊂平面AFC，PH⊄平面AFC，∴PH∥平面AFC，连接PO，则PO∥AC，又 AC⊂平面AFC，PO⊄平面AF...
