第2讲随机变量及其分布列一、选择题1．(·新课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()．A．0.8B.0.75C．0.6D.0.45解析已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.答案A2．(·杭州模拟)“”“”“”“在石头、剪刀、布的游戏中，规定：石头赢剪刀剪刀赢布布赢石”头．现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势．设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的数学期望是()．A.B.C.D.1解析ξ的可能取值0,1,2,3.考查每一局的情况，易知在每一局中甲赢的概率为.P(ξ＝0)＝××＝；P(ξ＝1)＝3×××＝；P(ξ＝2)＝3×××＝；P(ξ＝3)＝××＝.因此可求得期望E(ξ)＝1.答案D3．(·温州模拟)某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为()．A.B.C.D.解析该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P1＝C·2·，三次全部击中目标的概率是P2＝C·3.所以此人至少有两次击中目标的概率是P＝P1＋P2＝C·2·＋C3＝.答案C4．(·合肥模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)等于()．A.B.C.D.解析根据题目条件，每次摸到白球的概率都是p＝，满足二项分布，则有E(X)＝np＝5×＝3，解得m＝2，那么D(X)＝np(1－p)＝5××＝.答案B二、填空题5．(·绍兴质量调测)有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分；若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是________分．解析 小张得100分的概率为，得50分的概率为，∴小张得分的数学期望为E(X)＝＝(分)．答案6．(·台州模拟)有三位同学过节日互赠礼物，每人准备一件礼物，先将礼物集中在一个袋子中，每人从中随机抽取一件礼物，设恰好抽到自己准备的礼物的人数为ξ，则ξ的数学期望E(ξ)＝__________.解析ξ的可能取值为0,1,3，P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝3)＝＝；E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1.答案17．(·金丽衢十二校联考)有甲、乙、丙三位同学，投篮命中的概率如下表：同学甲乙丙概率0.5aa现请三位同学各投篮一次，设ξ表示命中的次数，若E(ξ)＝，则a＝__________.解析ξ可取值0,1,2,3.P(ξ＝0)＝0.5×(1－a)×(1－a)＝0.5(1－a)2；P(ξ＝1)＝0.5×(1－a)×(1－a)＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5(1－a2)；P(ξ＝2)＝0.5×a2＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5a(2－a)；P(ξ＝3)＝0.5×a×a＝0.5a2.∴E(ξ)＝P(ξ＝0)×0＋P(ξ＝1)×1＋P(ξ＝2)×2＋P(ξ＝3)×3＝.即0.5(1－a2)＋a(2－a)＋1.5a2＝，解得a＝.答案8．袋中有大小、质地相同的5个球，2白3黑，现从中摸球，规定：每次从袋中随机摸取一球，若摸到的是白球，则将此球放回袋中，并再放同样的一个白球入袋；若摸到的是黑球，则将球放回袋中，并再放同样的一个黑球入袋，连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数记为X，则X的数学期望为__________．解析首先，连续摸两次球且按规定操作后袋中白球的个数可能为2,3,4.P(X＝2)＝P(两次都摸到黑球)＝×＝；P(X＝4)＝P(两次都摸到白球)＝×＝；P(X＝3)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)＝.X的分布列为X234PE(X)＝2×＋3×＋4×＝.答案三、解答题9．(·天津卷)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．解(1)“设选出的3”名同学是来自互不相同的学院为事件A，则P(A)＝＝.所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．所以，随机变量X的分布列是X0123P随...
