第7讲——立体几何中的向量方法（二）求空间角基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·广东卷)已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1，1，0)B．(1，－1，0)C．(0，－1，1)D．(－1，0，1)解析经检验，选项B中向量(1，－1，0)与向量a＝(1，0，－1)的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60°，故选B.答案B2．(·新课标全国Ⅱ卷)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以BM＝(1，－1，2)，AN＝(－1，0，2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝＝＝.答案C3．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()A.aB.aC.aD.a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)， 点M在AC1上且AM＝MC1，(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)x∴＝a，y＝，z＝.得M，|∴MN|＝＝a.答案A4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，∴A1D＝(0，1，－1)，A1E＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，所以有即解得∴n1＝(1，2，2)． 平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，cos∴〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.答案B5．在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为()A.B.aC.D.a解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0，0，，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．PA ＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心．又 △ABC为正三角形，H∴为△ABC的重心，可得H点的坐标为.PH∴＝＝a.∴点P到平面ABC的距离为a.答案B二、填空题6．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为__________．解析cos〈m，n〉＝＝，∴〈m，n〉＝.∴两平面所成二面角的大小为或.答案或7．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于__________．解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则DC＝(0，1，0)，DB＝(1，1，0)，DC1＝(0，1，2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB，n⊥DC1，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝＝.答案8.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________．解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则EF＝(0，－1，1)，BC1＝(2，0，2)，∴EF·BC1＝2，cos∴〈EF，BC1〉＝＝，EF∴和BC1所成的角为60°.答案60°三、解答题9．(·浙江卷)如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B－AD－E的大小．(1)证明在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE.又DE⊥DC，DC∩AC＝C，从而DE⊥平面ACD.(2)解以D为原点，分别以射线DE，DC为x轴，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，2，)，B(1，1，0)．设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，可算得AD＝(0，－2，－)，AE＝(1，－2，－)，DB＝(1，1，0)，由即可取m＝(0，1，－)．由即可取n＝(1，－1，)．于是|cos〈m，n〉|＝＝＝，由题意可知，...
