第3讲等比数列及其前n项和分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．解析设数列{an}的公比为q(q＞0)，前n项和为Sn，由a1＝1，a5＝16，得q4＝＝16，所以q＝2，从而得S7＝＝127.答案1272．设数列{a}前n项和为Sn，a1＝t，a2＝t2，Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，则{an}是________数列，通项an＝________.解析由Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，得Sn＋2－Sn＋1＝t(Sn＋1－Sn)，所以an＋2＝tan＋1，所以＝t，又＝t，所以{an}成等比数列，且an＝t·tn－1＝tn.答案等比tn3．(·泰州模拟)数列{an}为正项等比数列，若a2＝2，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N，n≥2)，则此数列的前4项和S4＝________.解析由a1q＝2，a1qn－1＋a1qn＝6a1qn－2，得qn－1＋qn＝6qn－2，所以q2＋q＝6.又q＞0，所以q＝2，a1＝1.所以S4＝＝＝15.答案154．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为________．解析 a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知2＝×4t，显然t≠0，所以t＝5.答案55．(·南京模拟)已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2≥的最大正整数n的值为________．解析由等比数列的性质，得4＝a2·a4＝a(a3＞0)，所以a3＝2，所以a1＋a2＝14－a3＝12，于是由解得所以an＝8·n－1＝n－4.于是由an·an＋1·an＋2＝a＝3(n－3)＝n－3≥，得n－3≤1，即n≤4.答案46．(·宿迁联考)设a1＝2，an＋1＝，bn＝－1，n∈N*，则b2011＝________.解析由题意得b1＝－1＝3，bn＋1＝－1＝2－1＝2(bn＋1)－1＝2bn＋1，∴bn＋1＋1＝2(bn＋1)，故＝2，故数列{bn＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列．∴bn＋1＝2n＋1，∴bn＝2n＋1－1.答案22012－1二、解答题(每小题15分，共30分)7．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*，且a≠3.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．解(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，∴{Sn－3n}是等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*①(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，当n≥2时，an＋1≥an⇔12·n－2＋a－3≥0⇔a≥－9，又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a的取值范围是[－9∞，＋)．8．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)解由(1)知等比数列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是－＝，因此数列是首项为，公差为的等差数列，＝＋(n－1)×＝n－，所以an＝(3n－1)·2n－2.分层训练B级创新能力提升1．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝________.解析设数列{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.由a4与2a7的等差中项为知，a4＋2a7＝2×，∴a7＝＝.∴q3＝＝，即q＝.∴a4＝a1q3＝a1×＝2，∴a1＝16，∴S5＝＝31.答案312．(·江苏卷)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为________．解析由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1，a4＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3.故q≥，即q的最小值为.答案3．已知数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3…＋＋x100＝1，则lg(x101＋x102…＋＋x200)＝________.解析由lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)得lgxn＋1－lgxn＝1，∴＝10，∴数列{xn}是公比为10的...
