第2讲双曲线分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若双曲线－＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝________.解析 b＝，∴c＝，∴＝＝2，∴a＝1.答案12．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析焦点(c,0)到渐近线y＝x的距离为＝b，则由题意知b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴离心率e＝＝.答案3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为________．解析由题意可知，解得答案－＝14．(·湖南卷改编)设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a＝________.解析双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0与已知方程比较系数得a＝2.答案25．(·苏州市自主学习调查)过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为，则双曲线－＝1的离心率为________．解析由题意，得＝，即a2＝4b2＝4(c2－a2)，所以5a2＝4c2，e2＝＝，e＝.答案6．(·南京模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．解析由题意知B，A(a,0)，F(c,0)，于是A是线段BF的中点，得c－＝2a，∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0.又e＞1，所以e＝＋1.答案＋1二、解答题(每小题15分，共30分)7．设双曲线－＝1(b＞a＞0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．解由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.由原点到l的距离为c，得＝c.将b＝代入，平方后整理，得162－16×＋3＝0.令＝x，则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.由e＝，得e＝，故e＝或e＝2. 0＜a＜b，∴e＝＝＝＞，∴应舍去e＝，故所求离心率e＝2.8．设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解(1)由已知，得c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则解得a＝7，m＝3.所以b＝6，n＝2.故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，所以PF1＝10，PF2＝4.又F1F2＝2，故cos∠F1PF2＝＝＝.分层训练B级创新能力提升1．(·天津卷改编)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．解析由题意得⇒⇒c＝＝.∴双曲线的焦距2c＝2.答案22．(·南京调研)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积是________．解析由可解得又由F1F2＝10可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝PF1×PF2＝24.答案243.(·苏州调研一)如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，∴解得∴双曲线的标准方程为x2－＝1.答案x2－＝14．(·南京师大附中调研)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．解析如图，由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，又OA＝a，OF＝c，∴＝＝cos60°＝，∴＝2.答案25．(·台州中学模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解 e＝，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.又 双曲线过(4，－)点，∴λ＝16－10＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明法一由(1)知a＝b＝，c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，∴kMF1·kMF2＝＝，又点(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2，MF1·MF2...
