课件二：曲率、挠率、伏雷内公式VIP免费

主讲刘德金如图1.前面、我们主要介绍了空间曲线在一点的基本向量和几条特殊的直线、几个特殊的平面，这些内容及其之间的关系可以集中反映在一个图形之中.切线从切面副法线法面密切面主法线曲面在一点由基本向量和密切平面、法面、从切面所构成的图形叫做曲线在这点的基本三棱形。可以证明，在过曲线一点的所有直线中，切线是在这点附近与曲线最贴近的直线，在过曲线一点的所有平面中密切平面是在这点附近与曲线最贴近的平面。参见人民教育出版社出版，吴大任先生编著的《微分几何讲义》（图1）形状。面，一是弯曲；二是扭曲。何表现。曲率就是刻画曲线在一点弯曲程度的；挠率就是刻画曲线在一点扭曲程度和形式的。而反映曲率、挠率以及基本向量之间关系的就是Frenet公式。本节开始研究曲线在一点邻近的几何性质，其中一个重要内容就是研究曲线在一点邻近的结构或曲线在一点邻近的结构或形状无非表现为两方弯曲就是曲线在这点离开这点的切线的几何表现，扭曲就是曲线在这点离开这点的密切平面的几1曲率曲率是刻画曲线在一点弯曲程度的，不同的曲线一般弯曲程度不一样。例如半径较大的圆弯曲程度就小，半径较小的圆弯曲程度就大。同一条曲线在不同点处弯曲程度也不一样。如右图曲线。P(s)P1(s1)11()Qss()Qss()s()ss1()s1()ss在曲线上取等长的曲线段，可以看出，曲线弯曲得越厉害，切线的方向改变得越快。如图中弧PQ和弧P1Q1上。在弧PQ上的平均弯曲程度。在P、Q两点的单位切向量分别为()s()sss则反映了曲线ss并且0ss越小就越接近曲线在P点的弯曲程度,进一步令则的极限就应该是曲线在P点的弯曲程度。定义设P(S)是3C类曲线()rrs上一点,S为自然参数，()Qss为其附近一点，(),()sss为在两点处的单位切向量，设(),()sss间的夹角为,我们称0limss为曲线在P点的曲率,记为k(s)即k(s)=0limss由定义可知①曲率是单位切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大,切向量关于弧长的旋转速度就越大.因此曲率刻画了曲线的弯曲程度——曲率的几何意义.（在这个意义下，在非正常点，切向量不存在，所以曲率也不存在.）②推论：()||||ksr——曲率计算公式.证明由定义k(s)实际是单位切向量对于S的旋转速度，而“单位向量关于参数的旋转速度等于其微商的模”.③半径为R的圆的曲率k=0limss01limsRR=④直线的曲率k=0.（怎么证？）⑤||()||rrrksr2挠率法向量是常矢；如果曲线不是平面曲线，则曲线扭个点到另一个点的副法向量的方向改变得越快。因此类似于弯曲性的刻画，我们可用副法向量导矢但曲线的扭转比弯曲情况来得复杂，弯曲没有方向，而扭曲分左旋、右旋.为定义挠率，先给出∥（证明留作课后练习）空间曲线在一点的扭曲与曲线在这点的密切平面密切相关。如果曲线不扭曲,即为平面曲线,则其所有点的密切平面是同一个,即曲线所在平面,其副曲得越厉害，则曲线离开它的密切平面越快，从一||来刻画曲线的扭曲程度。的模2挠率定义曲线(c)在P点的挠率记为()s，定义为：||()||s，当与异向，当与同向说明①因|()|||s，所以挠率的绝对值刻画了曲线扭转的程度；其符号实际上规定了：右旋曲线()0s左旋曲线()0s。（将在下节给出解释，同学们预习时注意一下看是怎样说明的）。②()s；（由定义即得）③曲面是平面曲线，则()0s④挠率不恒等于零的曲线叫做挠曲线。3伏雷内(Frenet)公式简单地说，Frenet公式是由基本向量表示其导矢的式子。它是：()()()()sksss证明：()()()ksss，已经知道，只须证第二式。在两边求微商并将上两式带入得：()()()ksss该式其系数构成反对称矩阵：0()0()0()0()0sksss...