与特殊四边形有关的压轴题一、选择题1.(2014•浙江湖州,第10题3分)在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线(箭头表示行进的方向),则路程最长的行进路线图是()A.B.C.D.分析:分别构造出平行四边形和三角形,根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较,即可判断.解:A选项延长AC、BE交于S, ∠CAE=∠EDB=45°,∴AS∥ED,则SC∥DE.同理SE∥CD,∴四边形SCDE是平行四边形,∴SE=CD,DE=CS,即乙走的路线长是:AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS;B选项延长AF、BH交于S1,作FK∥GH, ∠SAB=∠S1AB=45°,∠SBA=∠S1BA=70°,AB=AB,∴△SAB≌△S1AB,∴AS=AS1,BS=BS1, ∠FGH=67°=∠GHB,∴FG∥KH, FK∥GH,∴四边形FGHK是平行四边形,∴FK=GH,FG=KH,∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB, FS1+S1K>FK,∴AS+BS>AF+FK+KH+HB,即AC+CD+DE+EB>AF+FG+GH+HB,同理可证得AI+IK+KM+MB<AS2+BS2<AN+NQ+QP+PB,又 AS+BS<AS2+BS2,故选D.点评:本题考查了平行线的判定,平行四边形的性质和判定的应用,注意:两组对边分别平行的四边形是平行四边形,平行四边形的对边相等.2.(2014年广西南宁,第11题3分)如图,在▱ABCD中,点E是AD的中点,延长BC到点F,使CF:BC=1:2,连接DF,EC.若AB=5,AD=8,sinB=,则DF的长等于()A.B.C.D.2考点:平行四边形的判定与性质;勾股定理;解直角三角形..分析:由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC,且AD=BC;然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CFDE的对边平行且相等(DE=CF,且DE∥CF),即四边形CFDE是平行四边形.如图,过点C作CH⊥AD于点H.利用平行四边形的性质、锐角三角函数定义和勾股定理求得CH=4,DH=1,则在直角△EHC中利用勾股定理求得CE的长度,即DF的长度.解答:证明:如图,在▱ABCD中,∠B=∠D,AB=CD=5,AD∥BC,且AD=BC=8. E是AD的中点,∴DE=AD.又 CF:BC=1:2,∴DE=CF,且DE∥CF,∴四边形CFDE是平行四边形.∴CE=DF.过点C作CH⊥AD于点H.又 sinB=,[来源:Zxxk.Com]∴sinD===,∴CH=4.在Rt△CDH中,由勾股定理得到:DH==3,则EH=4﹣3=1,∴在Rt△CEH中,由勾股定理得到:EC===,则DF=EC=.[来源:学科网]故选:C.点评:本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形.凡是可以用平行四边形知识证明的问题,不要再回到用三角形全等证明,应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题.3.(2014年贵州黔东南10.(4分))如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为()A.6B.12C.2D.4考点:翻折变换(折叠问题).分析:设BE=x,表示出CE=16x﹣,根据翻折的性质可得AE=CE,然后在RtABE△中,利用勾股定理列出方程求出x,再根据翻折的性质可得∠AEF=CEF∠,根据两直线平行,内错角相等可得∠AFE=CEF∠,然后求出∠AEF=AFE∠,根据等角对等边可得AE=AF,过点E作EHAD⊥于H,可得四边形ABEH是矩形,根据矩形的性质求出EH、AH,然后求出FH,再利用勾股定理列式计算即可得解.解答:解:设BE=x,则CE=BCBE=16x﹣﹣, 沿EF翻折后点C与点A重合,AE=CE=16x∴﹣,在RtABE△中,AB2+BE2=AE2,即82+x2=(16x﹣)2,解得x=6,AE=166=10∴﹣,由翻折的性质得,∠AEF=CEF∠, 矩形ABCD的对边ADBC∥,AFE=CEF∴∠∠,AEF=AFE∴∠∠,AE=AF=10∴,过点E作EHAD⊥于H,则四边形ABEH是矩形,EH=AB=8∴,AH=BE=6,FH=AFAH=106=4∴﹣﹣,在RtEFH△中,EF===4.故选D.点评:本题考查了翻折变换的性质,矩形的判定与性质,勾股定理,熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键,也是本题的突破口.4.(2014•遵义9.(3分))如图,边长为2的正方形ABCD中,P是CD的中点,连接AP并延长交BC的延长线于点F,作△CPF的外接圆⊙O,连接BP并延长交⊙O于点E,连接EF,则EF的长为()A.B.C.D.考点:相似三角形的判定与性质;正方形的性质;圆周角定理分析:先求出CP、BF长,根据勾股定理求出BP,根据相似得出比例式,即可求出答案.解答:解: 四边...