§2.5特征值与特征向量（1）教学目标：1.理解特征值与特征向量的含义.2.掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法,并能从几何变换的角度加以解释.教学重点：特征值与特征向量的含义教学难点：求矩阵的特征值和特征向量教学过程：一、问题情境:已知伸压变换矩阵M=,向量α=和β=在M对应的变换作用下得到的向量α′和β′分别与α,β有什么关系?对伸压变压矩阵N=呢?二、建构数学：1.矩阵的特征值和特征向量的定义.2.特征多项式3.矩阵M=的特征值和特征向量的计算方法:(1)构造特征多项式f(λ)=0;(2)解方程f(λ)=0;(2)将λ代入,求出对应的一个特征向量.注:如果向量α是属于λ的特征向量,那么tα(t∈R,t≠0)也是属于λ的特征向量.三、教学运用：例1.求下列矩阵的特征值和特征向量,并从几何变换的角度加以解释.(1)A=(2)B=例2.已知A=,P=,Q=,试求矩阵PAQ的特征值与特征向量.用心爱心专心1例3.已知α是矩阵M属于特征值λ=3的特征向量,其中M=,α=,且a+b+m=3,求a,b,m.四、课堂小结：五、课堂练习：P721六、课外作业：1.向量在矩阵变换下（）A.改变了方向,长度不变B.改变了长度,方向不变C.方向和长度都不变D.以上都不对2.下列对于矩阵A的特征值λ的描述正确的是()A.存在向量α,使得Aα=λαB.对任意向量α,有Aα=λαC.对任意非零向量α,Aα=λα成立D.存在一个非零向量α,有Aα=λα3.矩阵的特征值为__________,对应的特征向量为_____________.4.求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)(2)5.已知M=,试说明和都是矩阵A的对应于不同的特征值的特征向量.用心爱心专心2
