随机过程(十四)-布朗运动VIP免费

Brown运动随机游动设一个粒子在直线上做随机游动，每隔t时间内等可能的向左或向右移动x的距离。若记X(t)记时刻t粒子的位置，则1[/]()()ttXtxXX其中1i1i1(1)(1),()0,var()12iiiiiiXXPXPXEXX如果第步向右，相互独立如果第步向左问：要令t和x趋于零，X(t)将会具有哪些性质？首先来看1[/]221[/](())(())0(())()()()(/)ttttEXtExXXVarXtxVarXXxtt因此，32,0(())0,()0a.s.(),0,(()),0,(())txtVarXtXttxtVarXtxttVarXtt若取令，则从而＝，若取令则若取令则容易证明：（1）X(t)服从均值为0，方差为t的正态分布；（2）{X(t),t≥0}有独立增量（3）{X(t),t≥0}有平稳增量Brown运动的定义随机过程{B(t),t≥0}如果满足（1）B(0)＝0；（2）{B(t),t≥0}有平稳独立增量;（3）对每个t>0，B(t)服从正态分布N(0,t).则称{B(t),t≥0}为布朗运动，也称为wiener过程。如果＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝注：第(1)条并不是必须的。如果B(0)＝x，则称{B(t),t≥0}为始于x的布朗运动，记为Bx(t)。Brown运动的另一种定义Brown运动是具有如下性质的随机过程{B(t),t≥0}：（1）正态增量性：（2）独立增量性：B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u),0≤u≤s。（3）路径的连续性:B(t)是t的连续函数。()()~(0,),BtBsNtstsBrown的分布性质22/2()/20(1)()~(0,),1()2()~(,),1()2()xttxyxttdxBtNtfxetBtNxtfyxetBBtx它的密度函数为它的密度函数为空间齐次性t{,0},0,,(|)(|)(,0)ttsttstuXtPstyRPXyPXyXXut称随机过程是一族定义在（，，）上的马氏过程，如果对任意及任意均有其中FFF定义：连续Markov过程的转移概率定义为在时刻s处于状态x的条件下，过程在时刻t的分布函数(,,,)(()|())PytxsPXtyXsxBrown的马氏性2()()(()()()(()()()2()(()()(|)(|)()()(|)uBtsuBtuBtsBtttuBtuBtsBtutuBtuBtuBtsBttEeFeEeFeEeeeeEeBBrown运动满足马氏性,采用条件期望证明如下独立增量性）()(|)uBtstEeF在Brown运动的情况下，转移概率是正态的()2()(,,,)(()|())(()())12()uxytsPytxsPBtyBsxPBtBsyxeduts转移概率函数满足P(y,t,x,s)=P(y,t-s,x,0)，即(()|())(()|(0))PBtyBsxPBtsyBx这个性质称为Brown运动的时间时齐性,即分布不随时间而变化.2()2()()(,),1(,)~()2(,)styxttttBsxBtspxypxyefyxtpxy已知，的条件密度记为因此，与无关。2/2(3)()(){()|()}{()()}12yxutBsxBtsPBtsyBsxPBtsBsyxedut已知，的条件分布1111111111{(),,()}{()|(),11}{(),11}{()|()){()|(),12}{(),12}{()|()){()|(nnnniiiinnnnnniiiinnnnnnnPBtxBtxPBtxBtxinPBtxinPBtxBtxPBtxBtxinPBtxinPBtxBtxPBtxBt12121122221111111221)){()|()}(())(0,)(,)(,)nnnnxxxtttttnnnxPBtxBtxPBtxpydypxydypxydy有限维分布密度112111211,,111211211(,,)(0,)(,)(,)()()()nnnnnttntttttnntttttnnfxxpxpxxpxxfxfxxfxx注：由有限维分布，可以计算任何想求的条件概率。例如，求给定B(t)=y时，B(s)，s