四种命题及其关系、反证法四种命题之间的关系原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互为逆否同真同假互为逆否同真同假互逆命题真假无关互逆命题真假无关互否命题真假无关互否命题真假无关原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:(1)两个命题互为逆否命题，则它们有相同真假性。(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.1.命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．2．命题否定的方法：在根据原命题构造其否命题和逆否命题时，首先要把条件和结论分清楚，其次把其中的关键词搞清楚．注意其中易混的关键词，如“都不是”和“不都是”，其中“都不是”是指的一个也不是，“不都是”指的是其中有些不是．【提升】因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题.例3.证明：若x2+y2=0，则x=y=0.证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以x2+y2＞0，也就是说x2+y2≠0.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.反证法1.一般步骤①反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;②归谬:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.2.结论特点①结论本身以否定形式出现;②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式;③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式;④命题的逆否命题比原命题更具体或更易于证明.3.特殊结论的反设原结论词大于(>)小于(<)都是都不是至少n个至多n个反设词不大于(≤)不小于(≥)不都是至少有一个是至多n-1个至少n+1个原结论词有无穷多个存在唯一的对任意x,…使恒成立反设词只有有限多个不存在或至少存在两个至少有一个x,…使不成立4.引出矛盾的形式①由假设结论q不成立,得到条件p不成立;②由假设结论q不成立,得到结论q成立;③由假设结论q不成立,得到一个恒假命题;④分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.例1用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径。求证：弦AB、CD不被P平分。ABCDPO证明：假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有OPAB⊥，OPCD⊥，即过一点P有两条直线与OP垂直，这与垂线性质矛盾。所以，弦AB、CD不被P平分。(假设)（导致矛盾）（下结论）推理证:假设这两个方程都没有实根,则△1<0且△2<0,从而有:△1+△2<0.又 △1+△2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2)=p12+p22-2p1p2=(p1-p2)2≥0,与△1+△2<0矛盾.即△1+△2≥0,∴假设不成立.故这两个方程至少有一个有实根.例2若p1p2=2(q1+q2),证明关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.设三个正数a,b,c满足条件++=2,求证:a,b,c中至少有两个不小于1.b1a1c1①a,b,c三数均小于1,证:假设a,b,c中至多有一个数不小于1,这包含两种情况:即0
1,>1,>1,b1a1c1∴++>3,b1a1c1也与已知条件矛盾.②a,b,c中恰有两数小于1,不妨设01,>1,b1a1c1∴++>2+>2,b1a1c1∴假设不成立.∴a,b,c中至少有两个不小于1.【例4】若p2＋q2＝2，求证：p＋q≤2.证明：假设p＋q>2，∴()p＋q2>4. p2＋q2≥2pq，∴2()p2＋q2≥()p＋q2>4p2＋q2>2p2＋q2≠2.这与“p2＋q2＝2”相矛盾，假设不成立，因此原命题成立．点评：使用反证法的基本步骤是：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．(2)从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾．(3)由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立．实际上是通过证明命题“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”成立从而得到“若p，则q”成立的结论．在证明过程中，一定要注意对假设的利用．变式探究4．证明：若a，b，c∈R＋，则a＋1b，b＋1c，c＋1a中至少有一个不小于2.证明：假设a＋1b，b＋1c，c＋1a都小于2，则a＋...
