北航计算机研究生课程-算法设计与分析-HomeWork-1VIP免费

一、已知下列递推式：C(n)=1若n=1=2C（n/2）+n–1若n≥2请由定理1导出C(n)的非递归表达式并指出其渐进复杂性。定理1：设a,c为非负整数，b,d,x为非负常数，并对于某个非负整数k,令n=ck,则以下递推式f(n)=d若n=1=af(n/c)+bnx若n>=2的解是f(n)=bnxlogcn+dnx若a=cxf(n)=若a≠cx解：令F(n)=C(n)–1则F(n)=0n=1F(n)=2C(n/2)+n–2n>=2=2[F(n/2)+1]+n–2=2F(n/2)+n利用定理1，其中：d=0,a=2,c=2,b=1,x=1,并且a=cx所以F(n)=nlog2n所以C(n)=F(n)+1=nlog2n+1C(n)的渐进复杂性是O(nlog2n)二、由于Prim算法和Kruskal算法设计思路的不同，导致了其对不同问题实例的效率对比关系的不同。请简要论述：1、如何将两种算法集成，以适应问题的不同实例输入；2、你如何评价这一集成的意义？答：1、Prim算法基于顶点进行搜索，所以适合顶点少边多的情况。Kruskal从边集合中进行搜索，所以适合边少的情况。根据输入的图中的顶点和边的情况，边少的选用kruskal算法，顶点少的选用prim算法2、没有一个算法是万能的，没有一个算法是对所有情况都适合的。这一集成体现了针对具体问题选用最适合的方法，即具体问题具体分析的哲学思想。三、分析以下生成排列算法的正确性和时间效率：HeapPermute(n)//实现生成排列的Heap算法//输入：一个正正整数n和一个全局数组A[1..n]//输出：A中元素的全排列ifn=1writeAelsefori←1tondoHeapPermute(n-1)ifnisoddswapA[1]andA[n]elseswapA[i]andA[n]解：n=1时，输出a1n=2时，输出a1a2，a2a1n=3时，(1)第一次循环i=1时，HeapPermute(2)将a1a2做完全排列输出，记为[a1a2]a3，并将A变为a2a1a3，并交换1,3位，得a3a1a2(2)第二次循环i=2时，HeapPermute(2)输出[a3a1]a2，并将A变为a1a3a2，交换1,3位，得a2a3a1(3)第三次循环i=3时，HeapPermute(2)输出[a2a3]a1，并将A变为a3a2a1，交换1,3位，得a1a2a3，即全部输出完毕后数组A回到初始顺序。n=4时，(1)i=1时，HeapPermute(3)输出[a1a2a3]a4，并且a1a2a3顺序不变，交换1,4位，得a4a2a3a1(2)i=2时，HeapPermute(3)输出[a4a2a3]a1，并且a4a2a3顺序不变，交换2,4位，得a4a1a3a2(3)i=3时，HeapPermute(3)输出[a4a1a3]a2，并且a4a1a3顺序不变，交换3,4位，得a4a1a2a3(4)i=4时，HeapPermute(3)输出[a4a1a2]a3，并且a4a1a2顺序不变，交换4,4位，得a4a1a2a3，即全部输出完毕后数组A循环右移一位。由以上分析可得出结论：当n为偶数时，HeapPermute(n)输出全排列后数组元素循环右移一位。当n为奇数时，HeapPermute(n)输出全排列后数组元素顺序保持不变。所以由归纳法证明如下：(1)i=1时，显然成立。(2)i=k为偶数时，假设输出的是全排列，则i=k+1(奇数)时，k+1次循环中，每次前k个元素做全排列输出后循环右移一位，所以对换swapA[1]andA[n]可以保证每次将前k个元素中的一个换到k+1的位置，所以k+1次循环后输出的是A[1…k+1]的全排列。(3)i=k为奇数时，假设输出的是全排列,则i=k+1(偶数)时，k+1次循环中，每次前k个元素做全排列输出后顺序保持不变，所以对换swapA[i]andA[n]可以保证每次将前k个元素中的一个换到k+1的位置，所以k+1次循环后输出的是A[1…k+1]的全排列。证毕。时间复杂度递推公式为T(n)=1n=1=n[T(n-1)+2]n>1化简得T(n)=n!+O(nn-1)所以时间复杂度为O(n!)+O(nn-1)四、对于求n个实数构成的数组中最小元素的位置问题，写出你设计的具有减治思想算法的伪代码，确定其时间效率，并与该问题的蛮力算法相比较。解：(1)算法思想：将n分为[n/2]，n-[n/2]([]表示向下取整)两部分，分别找出其中的最小元及其位置，比较这两个元素的大小，得出总的最小元素的位置。(2)伪代码：(x,i)=FindLeastElement(a,b)//从数组A[a…b]中找出最小元x，及其位置i//输入：全局实数数组A[1…n]，搜索起始位置a,结束位置b//输出：最小元素x及其位置iifa==breturn（A[a],a）else(x1,i)=FindLeastElement(1,[n/2]);(x2,j)=FindLeastElement([n/2]+1,n);ifx11化简：F(n)=2F(n/2)+1=2[2F(n/22)+1]+1=22F(n/22)+2+1…=2kF(2k/2k)+1+2+…+2k-1(n=2k)=2n-1所以复杂度为O(2n-1)蛮力法的复杂度为...