第五讲导数的应用(一)限时规范训练A组——高考热点强化练一、选择题1．曲线y＝ex在点A处的切线与直线x＋y＋3＝0垂直，则点A的坐标为()A．(－1，e－1)B．(0,1)C．(1，e)D．(0,2)解析：与直线x＋y＋3＝0垂直的直线的斜率为1，所以切线的斜率为1，因为y′＝ex，所以由y′＝ex＝1，解得x＝0，此时y＝e0＝1，即点A的坐标为(0,1)，选B.答案：B2．已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)在原点附近的图象大致是()解析：因为f′(x)＝2x－2sinx，[f′(x)]′＝2－2cosx≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增，故选A.答案：A3．曲线f(x)＝xlnx在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为()A.B.C.D.解析：因为f(x)＝xlnx，所以f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1，所以曲线f(x)＝xlnx在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为.答案：B4．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C.D.解析：因为f′(x)＝6x2－6mx＋6，当x∈(2，＋∞)时，令f′(x)≥0，即6x2－6mx＋6≥0，则m≤x＋，又因为y＝x＋在(2，＋∞)上为增函数，故当x∈(2，＋∞)时，x＋>，故m≤，故选D.答案：D5．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()A.B．1C．0D．不存在解析：f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得00时，xf′(x)<2f(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)解析：根据题意，设函数g(x)＝(x≠0)，当x>0时，g′(x)＝<0，说明函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为偶函数，所以g(x)为偶函数，又f(1)＝0，所以g(1)＝0，故g(x)在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f(x)在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．答案：D8．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若x2f′(x)＋xf(x)＝sinx(x∈(0,6))，f(π)＝2，则下列结论正确的是()A．xf(x)在(0,6)上单调递减B．xf(x)在(0,6)上单调递增C．xf(x)在(0,6)上有极小值2πD．xf(x)在(0,6)上有极大值2π解析：因为x2f′(x)＋xf(x)＝sinx，x∈(0,6)，所以xf′(x)＋f(x)＝，设g(x)＝xf(x)，x∈(0,6)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝，由g′(x)>0得00，即(ex－1)·(x＋1)>0，解得x∈(－∞，－1)或x∈(0，＋∞)．所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)11．函数f(x)＝x3－3x2＋6在x＝________时取得极小值．解析：依题意得f′(x)＝3x(x－2)．当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0
