第3讲正、余弦定理及其应用1.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝________．答案：1解析：设AC＝x，由余弦定理得cos120°＝＝－，则x2－4＝－3x⇒x2＋3x－4＝0，解得x＝1或x＝－4(舍去)，所以AC＝1.2.(2018·青岛模拟)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．答案：解析：因为sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，所以在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD，所以BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，所以BD＝.3.在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝________．答案：解析：由A＋B＋C＝180°知，C＝45°，由正弦定理得＝，即＝，故c＝.4.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为，则C＝________．答案：60°解析：(解法1)∵S△ABC＝AB·AC·sinA＝，即××1×sinA＝，∴sinA＝1，∴A＝90°，∴C＝60°.(解法2)由正弦定理，得＝，即＝，∴C＝60°或C＝120°.当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝≠(舍去)；当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝，符合条件，故C＝60°.5.在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosC＝，则最大内角的余弦值为________．答案：－解析：由余弦定理得c＝＝3，故最大内角为B，所以cosB＝＝－.6.已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于________．答案：解析：利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为＝－，所以此角的正弦值为.设三角形外接圆的半径为R，由正弦定理得2R＝，所以R＝.7.在△ABC中，若9cos2A－4cos2B＝5，则＝________．答案：解析：由9cos2A－4cos2B＝5，得9(1－2sin2A)－4(1－2sin2B)＝5，即9sin2A＝4sin2B，所以＝＝.8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b2＋c2＝2absinC，则△ABC的形状是________．答案：正三角形解析：由a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2－2abcosC＝2absinC，得a2＋b2＝2absin(C＋)．由于2ab≤a2＋b2＝2absin(C＋)≤2ab，故只能a＝b且C＋＝，C＝，故△ABC为正三角形．9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bsinA＋acosB＝0，ac＝4，则△ABC的面积为________．答案：3解析：由bsinA＋acosB＝0及正弦定理得sinBsinA＋sinAcosB＝0.因为sinA≠0，所以tanB＝－，所以B＝120°，所以△ABC的面积为acsinB＝×4×＝3.10.(2018·苏州期中调研)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b＝acosC＋csinA且CD＝，则△ABC面积的最大值是________．答案：＋1解析：由b＝acosC＋csinA及正弦定理可得sinB＝sinAcosC＋sinCsinA，所以sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCsinA，化简可得sinA＝cosA，所以A＝.在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝2＝b2＋－2b··cosA≥bc－bc，当且仅当b＝时取“＝”，所以bc≤4＋2，所以△ABC面积S＝bcsinA＝bc≤＋1，即△ABC面积的最大值是＋1.11.(2018·启东调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角C为钝角，sinA＝，tan(A－B)＝，b＝5.(1)求sinB的值；(2)求边c的长．解：(1)因为角C是钝角，所以角A是锐角．由sinA＝，得cosA＝＝＝，所以tanA＝＝.所以tanB＝tan＝＝，所以且00,所以0，所以sinB－cosB＝1，所以sin＝，B－＝，所以B＝.(2)因为b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sinAsinC，＋＝＋＝＝＝＝，所以＋＝＝＝＝.
