高考数学二面角专题训练1.（06安徽卷）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。（Ⅰ）证明⊥；（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形， P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影； O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。（Ⅱ） PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又 正六边形ABCDEF的边长为1，∴，，。过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以为所求二面角平面角。在中，OH=，=。在中，；而（Ⅱ）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，∴，，设平面PAB的法向量为，则，，得，；设平面PDB的法向量为，则，，得，；2.（06北京卷）如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.用心爱心专心115号编辑1（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的大小.解法一：（Ⅰ）PA平面ABCD，AB是PB在平面ABCD上得射影，又ABAC，AC平面ABCD，ACPB.（Ⅱ）连接BD，与AC相交与O，连接EO，ABCD是平行四边形O是BD的中点又E是PD的中点，EOPB.又PB平面AEC，EO平面AEC，PB平面AEC，（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为，又是二面角的平面角。二面角的大小为3.（06广东）如图5所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,.(I)求二面角的大小；(II)求直线与所成的角.解：(Ⅰ) AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小为450；用心爱心专心115号编辑2图5ACFDEO1O(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为4.（06湖北卷）如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且。（Ⅰ）求二面角的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点到平面的距离。解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，从而AMM,AMNM，所以MN为二面角，—AM—N的平面角。又M=,MN=,连N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角—AM—N的平面角的余弦值为。用心爱心专心115号编辑3（Ⅱ）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即为到平面AMN的距离。在中，H＝M。故点到平面AMN的距离为1。解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，，0）,C(0,1,0),N(0,1,),A()，所以，，,。因为所以,同法可得。故﹤﹥为二面角—AM—N的平面角∴﹤﹥＝故所求二面角—AM—N的平面角的余弦值为。（Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由得故可取设与n的夹角为a，则。用心爱心专心115号编辑4所以到平面AMN的距离为。5.（06江苏卷）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）[考点分析：本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力][解]不妨设正三角形的边长为3，则（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF， AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF为正三角形。又AE=DE=1，∴EF⊥AD。在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。又BEEF=E，∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。（II）在图2中， A1E不垂直于A1B，∴A1E是面A1BP的斜线，又A1E⊥面BEP，∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在...
