专题限时集训(十二)圆锥曲线的定义、方程、几何性质[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．(2017·昆明二模)已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为()A．1B．2C．3D．4D[设M(x，y)，由题意得x＋＝4，y＝4.即x＝4－，y＝4，又点M在抛物线C上，所以42＝2p，解得p＝4，故选D.]2．(2017·黄山二模)若圆(x－3)2＋y2＝1上只有一点到双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为()【导学号：04024111】A.B.C.D.A[不妨设渐近线为bx＋ay＝0.由题意得圆心到渐近线bx＋ay＝0的距离d＝＝2，∴b2＝a2，∴c2＝a2，∴e＝＝，故选A.]3．(2017·武汉一模)已知点A(－1,0)，B(1,0)为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为()A．x2－＝1B．x2－＝1C．x2－＝1D．x2－y2＝1D[由题意知a＝1，不妨设点M在第一象限，则|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝1，|MN|＝，所以M(2，)代入双曲线方程得4－＝1，解得b＝1.所以双曲线方程为x2－y2＝1，故选D.]4．(2017·九江模拟)椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|＝a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.D[设P(x，y)，则|OP|2＝x2＋y2＝，由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，又 |PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，则|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，即＋5c2＝2a2，整理得＝，∴椭圆的离心率e＝＝.故选D.]5．(2016·唐山二模)椭圆y2＋＝1(0＜m＜1)上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是()A.B.C.D.B[当点P是短轴的顶点时∠F1PF2最大，因此若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则∠F1PF2≥90°，所以∠F2PO≥45°(O是原点)，从而≥，即1－m2≥，又0＜m＜1，所以0＜m≤.]二、填空题6．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.5[ 双曲线的标准方程为－＝1(a>0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.]7．(2017·青岛模拟)已知抛物线C：y2＝8x，O为坐标原点，直线x＝m与抛物线C交于A，B两点，若△OAB的重心为抛物线C的焦点F，则|AF|＝________.5[因为抛物线y2＝8x的焦点坐标为F(2,0)，又因为点F为△OAB的重心，所以m＝3，即点A的横坐标xA＝3，所以|AF|＝xA＋＝3＋2＝5.]8．如图121，F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．【导学号：04024112】图121[因为△ABF2为等边三角形，由点A是双曲线上的一点知，|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，由点B是双曲线上一点知，|BF2|－|BF1|＝2a，从而|BF2|＝4a，由∠ABF2＝60°得∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos120°，整理得c2＝7a2，则e2＝7，从而e＝.]三、解答题9．(2017·唐山一模)在△ABC中，A(－1,0)，B(1,0)，若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴(G，H不重合)．(1)求动点C的轨迹方程；(2)已知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程．[解](1)由题意可设C(x，y)，则G，H，BH＝，AC＝(x＋1，y)．2分因为H为垂心，所以BH·AC＝x2－1＋＝0，整理可得x2＋＝1，即动点C的轨迹方程为x2＋＝1(x·y≠0)．4分(2)显然直线AC的斜率存在，设AC的方程为y＝k(x＋1)，C(x0，y0)．将y＝k(x＋1)代入x2＋＝1得(3＋k2)x2＋2k2x＋k2－3＝0，6分解得x0＝，y0＝，则H．8分原点O到直线AC的距离d＝，依题意可得＝，10分即7k4＋2k2－9＝0，解得k2＝1，即k＝1或－1，故所求直线AC的方程为y＝x＋1或y＝－x－1．12分10．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【导学号：04024113】[解](1)由题意，...
