第2讲椭圆、双曲线、抛物线1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率)．2．以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．例1(1)(2017·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a>0)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则a等于()A．1B．2C.D.答案A解析抛物线y2＝8x的焦点为F，在双曲线－＝1(a>0)中，c＝2，c2＝4，b2＝3，所以a2＝c2－b2＝4－3＝1,所以a＝1，故选A.(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝x答案C解析如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设＝a，则由已知得＝2a，由抛物线定义，得＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中， ＝|AF|＝3，＝3＋3a，∴2＝，即3＋3a＝6，从而得a＝1，＝3a＝3.∴p＝＝＝，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.思维升华(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1(1)(2017届沈阳市东北育才学校模拟)已知双曲线与椭圆＋＝1的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于，则此双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案B解析由题意得c＝4，×＝⇒a＝2，∴b2＝12.又双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的方程为－＝1，故选B.(2)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则C点轨迹方程为()A.＋＝1(y≠0)B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(y≠0)答案D解析 △ABC的两顶点A(－4,0)，B(4,0)，周长为18，∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10. 10>8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝8，即a＝5，c＝4，∴b＝3.∴C点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．故选D.热点二圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝.(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．例2(1)(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.答案A解析由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，所以＝.所以e＝＝＝＝＝.故选A.(2)(2017届百校大联考全国名校联盟联考)过双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与E的渐近线交于B，C两点，若BC＋2BA＝0，则双曲线E的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±4xC．y＝±xD．y＝±2x答案D解析直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于点B，直线l：y＝－x＋a与渐近线l2：bx＋ay＝0交于点C，A.因为BC＋2BA＝0，所以AC＝3AB，所以－a＝3，所以b＝2a.所以双曲线E的渐近线方程为y＝±2x，故选D.思维升华(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．跟踪演练2(1)(2017届株洲一模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1为左焦点，A为右顶点，B1，B2分别为上、下顶点，若F1，A，B1，B2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析由题设圆的半径r＝，则b2＋2＝2，即a2－c2＝ac⇒e2＋e－1＝0，解得e＝，故选B.(2)已知双曲线C:－＝1(a>0,b>0)的焦距为2c，直线l过点且与...
