数列综合时间:50分钟总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．在等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝()A．1＋B．1－C．3＋2D．3－2【答案】C【解析】设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则由题意得a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q，所以q2－2q－1＝0，解得q＝1±.又q＞0，因此有q＝1＋，故＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.2．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为()A.B．4C．2D.【答案】C【解析】设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a＝a1a7得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2.3．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布”，则每天比前一天多织布的尺数是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意知，a1＝5，n＝30，Sn＝390＝30×5＋d⇒d＝.4．已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝()A．2B．4C．8D．16【答案】D【解析】因为{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－a＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)，又{bn}为等比数列，所以b6b8＝b＝a＝16.5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是()A．5年B．6年C．7年D．8年【答案】C【解析】令第n年的年产量为an，则由题意可知第一年的产量a1＝f(1)＝×1×2×3＝3(吨)；第n(n＝2,3，…)年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－(n－1)·n·(2n－1)＝3n2(吨)．令3n2≤150，则结合题意可得1≤n≤5.又n∈N*，所以1≤n≤7，即生产期限最长为7年．6．数列{an}的通项an＝n2cos2－sin2，其前n项和为Sn，则S30为()A．470B．490C．495D．510【答案】A【解析】注意到an＝n2cos，且函数y＝cos的最小正周期是3，因此当n是正整数时，1an＋an＋1＋an＋2＝－n2－(n＋1)2＋(n＋2)2＝3n＋，其中n＝1,4,7，…，S30＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a28＋a29＋a30)＝＋＋…＋＝3×＋×10＝470.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和Sn等于________．【答案】2n＋1－2【解析】y′＝nxn－1－(n＋1)xn，∴y′|x＝2＝n·2n－1－(n＋1)·2n＝－n·2n－1－2n.∴切线方程为y＋2n＝(－n·2n－1－2n)(x－2)，令x＝0，得y＝(n＋1)·2n，即an＝(n＋1)·2n.∴＝2n，∴Sn＝2n＋1－2.8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．【答案】【解析】设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0，又q≠0，∴q＝.9．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.【答案】－【解析】 an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.10．设Sn为数列{an}的前n项和，若(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝________.【答案】4【解析】由题意可知，数列{cn}的前n项和为Sn＝，前2n项和为S2n＝，∴＝＝2＋＝2＋，∴当d＝4时，＝4.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11．(2015·山东高考)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】见解析【解析】(1)设数列{an}的公差为d，令n＝1，得＝，所以a1a2＝3.①令n＝2，得＋＝，所以a2a3＝15.②由①②解得a1＝1，d...
