第38讲等差等比数列的性质【知识要点】一、等差数列的通项公式它是一个一次函数；等比数列的通项公式：.二、等差数列的前项和公式：一般已知时，用公式，已知时，用公式由于其常数项为零，所以其图像过原点.等比数列的前项和公式：.三、等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.四、等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即成等比数列.【方法讲评】性质一等差数列的通项公式等比数列的通项公式：【例1】已知等差数列中，，求.【点评】对于等差数列的性质要注意灵活运用，提高解题效率.知道了等差数列中的两项，就可以求出数列的公差.等差数列的首项是相对的，可以把其中的某些项看作是首项.【例2】已知等比数列中，求的值.【点评】对于等比数列的通项，要灵活运用，等比数列的首项是相对的，可以选取恰当的项作为等比数列的首项，提高解题效率.【反馈检测1】已知等比数列满足，且是与的等差中项.求数列的通项公式.性质二等差数列的前项和公式：等比数列的前项和公式：【例3】已知数列的前项和，求数列的前项和.【解析】当时，；当时，.时适合上式，的通项公式为.由，得，即当时，；当时，.【点评】（1）已知，一般利用作差法.（2）由于的不确定性，所以需要讨论.【反馈检测2】设数列各项为正数，且.(Ⅰ)证明：数列为等比数列；(Ⅱ)设数列的前项和为，求使成立时的最小值.性质三等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.【例4】已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，求使得达到最大值的的值.【点评】当数列中出现了较多的项的关系式时，注意观察它们之间和的关系，看是否能利用等差数列的性质，优化计算，提高解题效率.【例5】等比数列的各项为正数，，则（）A.B.C.D.【解析】【点评】当数列中出现了较多的项的关系式时，注意观察它们之间的关系，看是否能利用等差等比数列的性质，优化计算，提高解题效率.【反馈检测3】已知等差数列的前项和为，，，等比数列中，，，则。A．B．C．D．无法确定性质四等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即成等比数列.【例6】已知等差数列的前项和为，且，，试求.【点评】解答是依据等差数列均匀分段求和后组成的数列仍为等差数列；熟记等差数列的这些性质常可达到简化解题的目的.【反馈检测4】已知等比数列中，求的值.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第38讲：等差等比数列的性质参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测2详细解析】设等比数列的公比为，则有①②由①得：解得或（不合题意舍去）.当时，代入②得.【反馈检测2答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】由题得所以，故选A.【反馈检测4答案】【反馈检测4详细解析】
