专题42复数1.理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示法及其几何意义4.会进行复数代数形式的四则运算5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义热点题型一复数的有关概念例1、【2017山东，理2】已知,i是虚数单位，若，则a=（A）1或-1（B）（C）-（D）【答案】A【解析】由得，所以，故选A.【变式探究】(1)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i(2)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析：(1)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝＋3＝＋3＝＋3＝5＋i，∴＝5－i.故选D。(2)复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝3。故选D。答案：（1）D（2）D【提分秘籍】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理。【举一反三】设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：ab＝0⇒a＝0或b＝0，这时a＋＝a－bi不一定为纯虚数，但如果a＋＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0，由此知选B。答案：B热点题型二复数的几何意义例2、(1)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝()A．25B.C．5D.【提分秘籍】(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ。(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离。【举一反三】如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D解析：设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数＝－a－bi，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点，故选B。答案：B热点题型三复数的运算例3．【2017课标1，理3】设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A.B．C．D．【答案】B【解析】令，则由得，所以，故正确；当时，因为，而知，故不正确；当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.【变式探究】(1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝__________。(2)＝__________。(3)已知复数z满足＝2－i，则z＝__________。【提分秘籍】利用复数的四则运算求复数的一般思路(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可。(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简。(3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解。【举一反三】设z＝1＋i，则＋z2等于()A．1＋iB．－1＋iC．－iD．1－i解析：＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝＋2i＝1－i＋2i＝1＋i。答案：A1.【2017课标1，理3】设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A.B．C．D．【答案】B【解析】令，则由得，所以，故正确；当时，因为，而知，故不正确；当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.【考点】复数的运算与性质2.【2017课标II，理1】（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：，故选D。【考点】复数的除法3.【2017山东，理2】已知,i是虚数单位，若，则a=（A）1或-1（B）（C）-（D）【答案】A【解析】由得，所以，故选A.4.【2017课标3，理2】设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=A．B．C．D．2【答案】C【解析】由题意可得：，由复数求模的法则：可得：.5.【2017北京，理2】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）（–∞，1）（B）（–∞，–1）（C）（1，+∞）（...
