专题对点练10三角函数与三角变换1.(2018上海,18)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若f+1,求方程f(x)=1-在区间[-π,π]上的解.2.已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.3.设函数f(x)=cos2x-sinxcosx+.(1)求f(x)的最小正周期及值域;(2)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B+C)=,a=,b+c=3,求△ABC的面积.4.已知函数f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx-(ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为.(1)求ω的值;(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)-k在区间上存在零点,求实数k的取值范围.5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A为锐角,且bsinAcosC+csinAcosB=a.(1)求角A的大小;(2)设函数f(x)=tanAsinωxcosωx-cos2ωx(ω>0),其图象上相邻两条对称轴间的距离为,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)图象,求函数g(x)在区间上的值域.6.已知f(x)=sin(π+ωx)·sin-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T=π.(1)求f的值;(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2a-c)cosB=bcosC,求角B的大小以及f(A)的取值范围.7.已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcosx+a,且当x∈时,f(x)的最小值为2.(1)求a的值,并求f(x)的单调递增区间;(2)先将函数y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再将所得图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=4在区间上所有根之和.8.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式,并求函数f(x)在上的值域;(2)在△ABC中,AB=3,AC=2,f(A)=1,求sin2B.专题对点练10答案1.解(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,∴f(-x)=-asin2x+2cos2x.∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴-asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,∴2asin2x=0,∴a=0.(2)∵f+1,∴asin+2cos2=a+1=+1,∴a=,∴f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin+1.∵f(x)=1-,∴2sin+1=1-,∴sin=-,∴2x+=-+2kπ或2x+π+2kπ,k∈Z,∴x=kπ-或x=kπ+,k∈Z.∵x∈[-π,π],∴x=-或-.∴所求方程的解为x=-或-.2.(1)解f(x)=cos2x+sin2x-sin2x=sin2x+cos2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.所以sin≥sin=-.所以当x∈时,f(x)≥-.3.解(1)f(x)=cos2x-sinxcosx+=cos+1,∴f(x)的最小正周期为T=π.∵x∈R,∴-1≤cos≤1,故f(x)的值域为[0,2].(2)由f(B+C)=cos+1=,得cos.又A∈(0,π),得A=.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc,又a=,b+c=3,∴3=9-3bc,解得bc=2,∴△ABC的面积S=bcsin×2×.4.解(1)原函数可化为f(x)=sin2ωx+sin2ωx+·cos2ωx=sin.∵函数f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为,∴f(x)的最小正周期为2×=π.∴=π,∴ω=1.(2)由(1)知,ω=1,f(x)=sin,将函数f(x)的图象向左平移个单位,得到函数y=sin=sin=cos2x的图象,再将函数y=cos2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=cosx的图象.∴g(x)=cosx.∵x∈,∴g(x)=cosx∈.∵函数y=g(x)-k在区间上存在零点,∴k∈.∴实数k的取值范围为.5.解(1)∵bsinAcosC+csinAcosB=a,∴由正弦定理可得sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA,∵A为锐角,sinA≠0,∴sinBcosC+sinCcosB=,可得sin(B+C)=sinA=,∴A=.(2)∵A=,可得tanA=,∴f(x)=sinωxcosωx-cos2ωx=sin2ωx-cos2ωx=sin,∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为,可得T=2×,解得ω=1,∴f(x)=sin,∴将y=f(x)的图象向左平移个单位,图象对应的函数为y=g(x)=sin=sin,∵x∈,可得2x+,∴g(x)=sin.6.解(1)f(x)=sin(π+ωx)·sin-cos2ωx=sinωx·cosωx-cos2ωx=sin2ωx-cos2ωx-=sin.∵最小正周期为T=π,∴=π,ω=1.∴f(x)=sin.∴f=sin.(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA.∵sinA>0,∴cosB=,∵B∈(0,π),∴B=.∴A∈,2A-,∴sin.即f(A)的取值范围为.7.解(1)f(x)=2cos2x+2·sinxcosx+a=cos2x+1+sin2x+a=2sin+a+1,∵x∈,∴2x+,∴f(x)的最小值为-1+a+1=2,解得a=2,∴f(x)=2sin+3.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin+3,由g(x)=4可得sin,∴4x-=2kπ+或4x-=2kπ+(k∈Z),解得x=或x=(k∈Z),∵x∈,∴x=或x=,∴所有根之和为.8.解(1)由题图知,T=,∴T=π.∴=π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ).∵点在函数f(x)的图象上,∴sin=1,∴+φ=+2kπ(k∈Z).∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2sin.∵-≤x≤,∴0≤2x+.∴0≤sin≤1,∴0≤f(x)≤2,即函数f(x)在上的值域为[0,2].(2)∵f(A)=2sin=1,∴sin.∵<2A+,∴2A+,∴A=.在△ABC中,由余弦定理得BC2=9+4-2×3×2×=7,∴BC=.由正弦定理得,故sinB=.又AC
