第四节数列通项的求法Ｋ数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前n项和等．因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点．在近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式(包括递推关系式和非递推关系式)求通项公式的问题，对于这类问题考生感到困难较大．为了帮助考生突破这一难点，现将求数列通项的思想方法归纳如下：①化归与转化思想；②换元思想；③方程思想．1．(2014·福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(C)A．8B．10C．12D．14解析：S3＝3a2＝12，故a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2，故a6＝a1＋5d＝12，故选C.2．若数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2013的值为(C)A.B.C.D.解析： ≤a1＝<1，∴a2＝2a1－1＝，a3＝2a2－1＝. a3＝<，∴a4＝2a3＝＝a1，a5＝a2，….∴数列{an}每隔3项重复出现，即是以3为周期的周期数列．∴a2013＝a671×3＝a3＝.故选C.3．(2013·江苏南京四校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n－1，则a1＋a3＝7．解析：a1＝S1＝21＋1－1＝2，a3＝S3－S2＝8＋3－1－(4＋2－1)＝5，∴a1＋a3＝7.4．已知数列{an}中，满足a1＝6，an＋1＋1＝2(an＋1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝7·2n－1－1(n∈N*)．解析： an＋1＋1＝2(an＋1)，∴＝2(常数)，∴{an＋1}是以7为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝7·2n－1，∴an＝7·2n－1－1(n∈N*)．高考方向1.主要考查简单数列的通项公式的求解、数列的前n项和与通项的关系、简单的递推数列问题.2.三种题型都有可能出现，试题难度中等.11．(2014·北京卷)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝8时，{an}的前n项和最大．解析：利用等差数列的性质求解．因为{an}是等差数列，所以a7＋a8＋a9＝3a8＞0，a7＋a10＝a8＋a9＜0，即该等差数列的前8项是正数，从第9项开始为负数，所以(Sn)max＝S8.2．(2014·广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn.满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)S2＝4a3－20，S3＝S2＋a3＝5a3－20，又S3＝15，∴a3＝7.∴S2＝4a3－20＝8，又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.综上知a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，结论显然成立；②假设当n＝k(k≥1)时，结论成立，即ak＝2k＋1，则Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝×k＝k(k＋2)，又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，解得2ak＋1＝4k＋6，∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知，∀n∈N*，an＝2n＋1.1．设数列{an}满足：an＋1＝，a2011＝2，那么a1等于(A)A．－B．2C.D．－3解析：由an＋1＝，得an＝，因为a2011＝2，所以依次解得a2010＝，a2009＝－，a2008＝－3，a2007＝2，a2006＝，a2005＝－，…，所以{an}是周期数列，周期为4，所以a2005＝a2004＋1＝a1＝－.故选A.2．在数列{an}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为2k.(1)证明：a4，a5，a6成等比数列．(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：由题设可知，a2＝a1＋2＝2，a3＝a2＋2＝4，a4＝a3＋4＝8，a5＝a4＋4＝12，a6＝a5＋6＝18.从而＝＝，所以a4，a5，a6成等比数列．(2)解析：由题设可得a2k＋1－a2k－1＝4k，k∈N*.所以a2k＋1－a1＝(a2k＋1－a2k－1)＋(a2k－1－a2k－3)＋…＋(a3－a1)＝4k＋4(k－1)＋…＋4×1＝2k(k＋1)，k∈N*.由a1＝0，得a2k＋1＝2k(k＋1)，从而a2k＝a2k＋1－2k＝2k2.所以数列{an}的通项公式为an＝或写为an＝＋，n∈N*.2课时作业1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝(B)A．－16B．16C．31D．32解析：由已知可得a1＝1，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以{an}是等比数列，公比为2，所以a5＝a1·24＝16.故选B.2．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2n，则an等于(A)A．2n－1B．2n＋1－3C．2n－1D．2n－1－1解析：因为an＋1＝an＋2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝...
