高三数学复习限时训练（166）1．如图，已知直四棱柱1111ABCDABCD的底面是直角梯形，ABBC，//ABCD，E，F分别是棱BC，11BC上的动点，且1//EFCC，11CDDD，2,3ABBC.（Ⅰ）证明：无论点E怎样运动，四边形1EFDD都为矩形；（Ⅱ）当1EC时，求几何体1AEFDD的体积．2、．在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；（2）求多面体E-AFMN的体积．3．如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=a5（1）证明：EBFD用心爱心专心1MNFEBCADAEFMNBFGBDEAC（2）求点B到平面FED的距离.4．如图，三角形ABC中，AC=BC=AB22，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(Ⅰ)求证：GF//底面ABC；(Ⅱ)求证：AC⊥平面EBC；(Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V．高三数学复习限时训练（161）参考答案1．如图，已知直四棱柱1111ABCDABCD的底面是直角梯形，ABBC，//ABCD，E，F分别是棱BC，11BC上的动点，且1//EFCC，11CDDD，2,3ABBC.（Ⅰ）证明：无论点E怎样运动，四边形1EFDD都为矩形；（Ⅱ）当1EC时，求几何体1AEFDD的体积．答案：（Ⅰ）在直四棱柱1111ABCDABCD中，11//DDCC，∵1//EFCC，∴1//EFDD，用心爱心专心2又∵平面//ABCD平面1111ABCD，平面ABCD平面1EFDDED，平面1111ABCD平面11EFDDFD，∴1//EDFD，∴四边形1EFDD为平行四边形，∵侧棱1DD底面ABCD，又DE平面ABCD内，∴1DDDE，∴四边形1EFDD为矩形；（Ⅱ）证明：连结AE，∵四棱柱1111ABCDABCD为直四棱柱，∴侧棱1DD底面ABCD，又AE平面ABCD内，∴1DDAE，在RtABE中，2AB，2BE，则22AE；在RtCDE中，1EC，1CD，则2DE；在直角梯形中ABCD，22()10ADBCABCD；∴222AEDEAD，即AEED，又∵1EDDDD，∴AE平面1EFDD；由（Ⅰ）可知，四边形1EFDD为矩形，且2DE，11DD，∴矩形1EFDD的面积为112EFDDSDEDD，∴几何体1AEFDD的体积为11114222333AEFDDEFDDVSAE．2．在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；（2）求多面体E-AFMN的体积．答案：（1）因翻折后B、C、D重合（如图），所以MN应是的一条中位线，则用心爱心专心3MNFEBCADAEFMNB．（2）因为平面BEF，且，∴，又∴．3．如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=a5（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离.答案：（1）证明：点E为弧AC的中点又又（2）解：在由于：所以用心爱心专心4FGBDEAC由等体积法可知：即，所以即点B到平面FED的距离为4．如图，三角形ABC中，AC=BC=AB22，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(Ⅰ)求证：GF//底面ABC；(Ⅱ)求证：AC⊥平面EBC；(Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V．答案：（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴HG//BC，HF//DE，又∵ADEB为正方形∴DE//AB，从而HF//AB∴HF//平面ABC，HG//平面ABC,HF∩HG=H,∴平面HGF//平面ABC∴GF//平面ABC证法二：取BC的中点M，AB的中点N连结GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点∴DANFDA，NFBE，GMBEGM21//21,//且且又∵ADEB为正方形∴BE//AD，BE=AD∴GM//NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形∴GF//MN，又ABCMN平面，∴GF//平面ABC证法三：连结AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，∴GF//AC，又AC平面ABC，∴GF//平面ABC用心爱心专心5NMFGBDEACHFGBDEACAEFMNB（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面ABC又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC∴BE⊥AC又∵CA2+CB2=AB2∴AC⊥BC,∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面BCE（Ⅲ）连结CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED.∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴1122CNAB，∵C—ABED是四棱锥,∴VC—ABED=13ABEDSCN用心爱心专心6
